En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : GénéralitéIntégration en mathématiques/Exercices/Généralité », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient
f
{\displaystyle f}
et
g
{\displaystyle g}
deux fonctions continues sur un intervalle fermé borné
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
(
a
<
b
{\displaystyle a<b}
). Quel est le signe de
∫
a
b
[
f
(
t
)
+
λ
g
(
t
)
]
2
d
t
{\displaystyle \int _{a}^{b}[f(t)+\lambda g(t)]^{2}\,\mathrm {d} t}
où
λ
{\displaystyle \lambda }
désigne un nombre réel ?
En déduire l'inégalité suivante, appelée inégalité de Schwarz :
[
∫
a
b
f
(
t
)
g
(
t
)
d
t
]
2
⩽
∫
a
b
[
f
(
t
)
]
2
d
t
∫
a
b
[
g
(
t
)
]
2
d
t
{\displaystyle \left[\int _{a}^{b}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t\right]^{2}\leqslant \int _{a}^{b}[f(t)]^{2}\,\mathrm {d} t\int _{a}^{b}[g(t)]^{2}\,\mathrm {d} t}
.
Aide : On pourra développer
∫
a
b
[
f
(
t
)
+
λ
g
(
t
)
]
2
d
t
{\displaystyle \int _{a}^{b}[f(t)+\lambda g(t)]^{2}\,\mathrm {d} t}
, et la considérer comme un polynôme en
λ
{\displaystyle \lambda }
, de degré inférieur ou égal à 2.
Solution
Pour tout réel
λ
{\displaystyle \lambda }
,
0
≤
∫
a
b
[
f
(
t
)
+
λ
g
(
t
)
]
2
d
t
=
A
λ
2
+
2
B
λ
+
C
{\displaystyle 0\leq \int _{a}^{b}[f(t)+\lambda g(t)]^{2}\,\mathrm {d} t=A\lambda ^{2}+2B\lambda +C}
avec
A
=
∫
a
b
[
f
(
t
)
]
2
d
t
≥
0
{\displaystyle A=\int _{a}^{b}[f(t)]^{2}\,\mathrm {d} t\geq 0}
,
B
=
∫
a
b
f
(
t
)
g
(
t
)
d
t
{\displaystyle B=\int _{a}^{b}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t}
et
C
=
∫
a
b
[
g
(
t
)
]
2
d
t
{\displaystyle C=\int _{a}^{b}[g(t)]^{2}\,\mathrm {d} t}
, et l'on veut en déduire que
B
2
≤
A
C
{\displaystyle B^{2}\leq AC}
.
Si
A
>
0
{\displaystyle A>0}
, en appliquant l'inégalité précédente à
λ
=
−
B
/
A
{\displaystyle \lambda =-B/A}
, on trouve :
0
≤
C
−
B
2
/
A
{\displaystyle 0\leq C-B^{2}/A}
, qui équivaut à l'inégalité souhaitée.
Si
A
=
0
{\displaystyle A=0}
alors
f
{\displaystyle f}
est la fonction nulle donc
B
2
=
0
=
A
C
{\displaystyle B^{2}=0=AC}
.
Démontrer que, si
f
{\displaystyle f}
et
g
{\displaystyle g}
deux fonctions numériques continues, positives sur un intervalle
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
(
a
<
b
{\displaystyle a<b}
) telles que, pour tout
x
{\displaystyle x}
de
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
,
f
(
x
)
g
(
x
)
≥
1
{\displaystyle f(x)g(x)\geq 1}
, alors :
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
≥
(
a
−
b
)
2
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x\geq (a-b)^{2}}
.
Aide : On pourra utiliser l'exercice 1-1 .
Solution
Posons
F
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle F(x)={\sqrt {f(x)}}}
et
G
(
x
)
=
g
(
x
)
{\displaystyle G(x)={\sqrt {g(x)}}}
. Alors :
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
[
F
(
x
)
]
2
d
x
∫
a
b
[
G
(
x
)
]
2
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}[F(x)]^{2}\,\mathrm {d} x\int _{a}^{b}[G(x)]^{2}\,\mathrm {d} x}
;
d'après l'inégalité de Schwarz,
∫
a
b
[
F
(
x
)
]
2
d
x
∫
a
b
[
G
(
x
)
]
2
d
x
≥
(
∫
a
b
F
(
x
)
G
(
x
)
d
x
)
2
{\displaystyle \int _{a}^{b}[F(x)]^{2}\,\mathrm {d} x\int _{a}^{b}[G(x)]^{2}\,\mathrm {d} x\geq \left(\int _{a}^{b}F(x)G(x)\,\mathrm {d} x\right)^{2}}
;
F
(
x
)
G
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
≥
1
{\displaystyle F(x)G(x)={\sqrt {f(x)g(x)}}\geq 1}
donc
∫
a
b
F
(
x
)
G
(
x
)
d
x
≥
∫
a
b
1
d
x
=
b
−
a
{\displaystyle \int _{a}^{b}F(x)G(x)\,\mathrm {d} x\geq \int _{a}^{b}1\,\mathrm {d} x=b-a}
.
L'inégalité annoncée se déduit de ces trois points.
Soit
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }
une fonction continue et soit
M
=
sup
x
∈
[
a
,
b
]
|
f
(
x
)
|
{\displaystyle M=\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|}
. On suppose que
a
<
b
{\displaystyle a<b}
et que
M
>
0
{\displaystyle M>0}
. Pour tout entier
n
>
0
{\displaystyle n>0}
, on pose
‖
f
‖
n
=
∫
a
b
|
f
(
t
)
|
n
d
t
n
{\displaystyle \|f\|_{n}={\sqrt[{n}]{\int _{a}^{b}|f(t)|^{n}\,\mathrm {d} t}}}
.
1° Prouver que
‖
f
‖
n
≤
M
b
−
a
n
{\displaystyle \|f\|_{n}\leq M{\sqrt[{n}]{b-a}}}
.
2° Démontrer que, quel que soit le réel strictement positif
ε
{\displaystyle \varepsilon }
, il existe un intervalle non trivial (c'est-à-dire d'extrémités distinctes)
[
α
,
β
]
⊂
[
a
,
b
]
{\displaystyle [\alpha ,\beta ]\subset [a,b]}
, sur lequel
|
f
|
>
M
−
ε
{\displaystyle |f|>M-\varepsilon }
.
En déduire que
‖
f
‖
n
>
(
M
−
ε
)
β
−
α
n
{\displaystyle \|f\|_{n}>(M-\varepsilon ){\sqrt[{n}]{\beta -\alpha }}}
.
3° Démontrer que
lim
n
→
∞
‖
f
‖
n
=
M
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f\|_{n}=M}
.
Solution
1° En intégrant
|
f
|
n
≤
M
n
{\displaystyle |f|^{n}\leq M^{n}}
de
a
{\displaystyle a}
à
b
{\displaystyle b}
, on trouve
‖
f
‖
n
n
≤
M
n
(
b
−
a
)
{\displaystyle \|f\|_{n}^{n}\leq M^{n}(b-a)}
. On conclut en prenant les racines
n
{\displaystyle n}
-ièmes.
2° Par définition de
M
{\displaystyle M}
, il existe
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
tel que
|
f
(
x
)
|
>
M
−
ε
{\displaystyle |f(x)|>M-\varepsilon }
. Par continuité de
f
{\displaystyle f}
en ce point, il existe dans
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
un intervalle non trivial
[
α
,
β
]
{\displaystyle [\alpha ,\beta ]}
(contenant
x
{\displaystyle x}
) sur lequel
|
f
|
>
M
−
ε
{\displaystyle |f|>M-\varepsilon }
.
En intégrant
|
f
|
n
>
(
M
−
ε
)
n
{\displaystyle |f|^{n}>(M-\varepsilon )^{n}}
de
α
{\displaystyle \alpha }
à
β
{\displaystyle \beta }
, on trouve
‖
f
‖
n
n
>
(
M
−
ε
)
n
(
β
−
α
)
{\displaystyle \|f\|_{n}^{n}>(M-\varepsilon )^{n}(\beta -\alpha )}
. On conclut en prenant les racines
n
{\displaystyle n}
-ièmes.
3° Soit
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
.
lim
n
→
∞
b
−
a
n
=
1
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{b-a}}=1}
donc d'après la question 1, pour tout
n
{\displaystyle n}
suffisamment grand,
‖
f
‖
n
≤
M
+
ε
{\displaystyle \|f\|_{n}\leq M+\varepsilon }
.
De même, d'après la question 2, pour tout
n
{\displaystyle n}
suffisamment grand,
‖
f
‖
n
>
M
−
2
ε
{\displaystyle \|f\|_{n}>M-2\varepsilon }
.
D'après ces deux points,
lim
n
→
∞
‖
f
‖
n
=
M
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f\|_{n}=M}
.
Remarque
Un exercice de niveau 16 montre que la suite
(
‖
f
‖
n
b
−
a
n
)
{\displaystyle \left({\frac {\|f\|_{n}}{\sqrt[{n}]{b-a}}}\right)}
(qui, d'après ce qui précède, converge vers
M
{\displaystyle M}
) est croissante.