Intégration en mathématiques/Exercices/Généralité

Généralité
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Exercices no1
Leçon : Intégration en mathématiques
Chapitre du cours : Aire et intégrale

Exercices de niveau 13.

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Exercice 1-1

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Soient   et   deux fonctions continues sur un intervalle fermé borné   ( ). Quel est le signe de

 

  désigne un nombre réel ?

En déduire l'inégalité suivante, appelée inégalité de Schwarz :

 .

Aide : On pourra développer  , et la considérer comme un polynôme en  , de degré inférieur ou égal à 2.

Exercice 1-2

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Démontrer que, si   et   deux fonctions numériques continues, positives sur un intervalle   ( ) telles que, pour tout   de  ,  , alors :

 .

Aide : On pourra utiliser l'exercice 1-1.

Exercice 1-3

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Soient   et   deux fonctions continues sur   ( ), avec   non constamment nulle. Démontrer que si   garde un signe constant sur   et si  , on a :

 .

Exercice 1-4

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Soit   une fonction continue et soit  . On suppose que   et que  . Pour tout entier  , on pose  .

1°  Prouver que  .

2°  Démontrer que, quel que soit le réel strictement positif  , il existe un intervalle non trivial (c'est-à-dire d'extrémités distinctes)  , sur lequel  .

En déduire que  .

3°  Démontrer que  .