Fonctions convexes/Exercices/Sur l’inégalité de Jensen

Sur l’inégalité de Jensen
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Exercices no1
Leçon : Fonctions convexes
Chapitre du cours : Applications de l'inégalité de Jensen

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Inégalité de Minkowski
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Fonctions convexes/Exercices/Sur l’inégalité de Jensen
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Exercice 1-1Modifier

Soient   et  . Démontrer que

 .

Exercice 1-2Modifier

Soit a1, a2,…, an, une famille de nombres strictement positifs.

Montrer que l’on a :

 

Exercice 1-3Modifier

Soit   un espace mesuré. On considère les « normes »   associées.

  1. À l'aide de l'inégalité de Young, démontrer la forme intégrale de l'inégalité de Hölder : si   et   alors, pour toutes fonctions mesurables   et  ,
     .
  2. Pour quel espace mesuré la forme discrète vue en cours est-elle un cas particulier de la forme intégrale ci-dessus ?
  3. Montrer que le résultat suivant en est un second cas particulier : si   est finie, de masse totale  , alors, pour toute fonction mesurable  ,
     .
  4. Montrer que réciproquement, ce second cas particulier peut servir de lemme pour démontrer la forme intégrale de l'inégalité de Hölder.
  5. Redémontrer ce lemme à partir de la version intégrale de l'inégalité de Jensen.

Exercice 1-4Modifier

Soient   une fonction convexe et   une fonction continue par morceaux. En considérant des sommes de Riemann, redémontrer directement dans ce cas la version intégrale de l'inégalité de Jensen :

 

à partir de la version discrète.