Fonctions convexes/Exercices/Sur l’inégalité de Jensen

Exercice 1-1

Soient $n\in \mathbb {N}$ et $a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{n}\in \mathbb {R}$. Démontrer que

$\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=0}^{n}b_{i}^{2}\right)$.

Solution

C'est l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans $\mathbb {R} ^{n}$, mais on peut la redémontrer en appliquant l'inégalité de Hölder pour $p=q=2$.

 

Exercice 1-2

Soit a₁, a₂,…, a_n, une famille de nombres strictement positifs.

Montrer que l’on a :

$1+\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}\leqslant \prod _{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}$

Solution

Considérons la fonction $f$ définie par :

$\forall x\in \mathbb {R} \qquad f(x)=\ln(1+e^{x})$.

On a alors :

$f''(x)={\frac {e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}$

Par conséquent $f$ est convexe.

En appliquant le corollaire, on obtient :

$\ln \left(1+e^{\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{n}}}\right)\leqslant \sum _{i=1}^{n}{\frac {\ln(1+e^{x_{i}})}{n}}$.

Posons :

$x_{i}=\ln a_{i}$.

On obtient :

$\ln \left(1+e^{\sum _{i=1}^{n}{\frac {\ln a_{i}}{n}}}\right)\leqslant \sum _{i=1}^{n}{\frac {\ln(1+a_{i})}{n}}\Leftrightarrow \ln \left(1+\prod _{i=1}^{n}e^{\frac {\ln a_{i}}{n}}\right)\leqslant \ln \left(\prod _{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}\right)\Leftrightarrow 1+\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}\leqslant \prod _{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}$.

 

Exercice 1-3

Soit $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ un espace mesuré. On considère les « normes » $\mathrm {L} ^{p}$ associées.

1. À l'aide de l'inégalité de Young, démontrer la forme intégrale de l'inégalité de Hölder : si $0<p,q\leq +\infty$ et ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}$ alors, pour toutes fonctions mesurables $f$ et $g$,
   $\|fg\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}$.
2. Pour quel espace mesuré la forme discrète vue en cours est-elle un cas particulier de la forme intégrale ci-dessus ?
3. Montrer que le résultat suivant en est un second cas particulier : si $\mu$ est finie, de masse totale $\mu (\Omega )=M>0$, alors, pour toute fonction mesurable $g$,
   $0<r\leq q\leq +\infty \Rightarrow \|g\|_{r}\leq M^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{q}}}\|g\|_{q}$.
4. Montrer que réciproquement, ce second cas particulier peut servir de lemme pour démontrer la forme intégrale de l'inégalité de Hölder.
5. Redémontrer ce lemme à partir de la version intégrale de l'inégalité de Jensen.

Solution

Référence : Intégration et Probabilités (M43050) 2010–2011, cours 15 par Bernard Maurey, université Paris VII - Diderot.

1. Le résultat étant immédiat si $p$, $q$, $\|f\|_{p}$ ou $\|g\|_{q}$ est infini ou si $fg$ est nulle p.p., supposons que $p$ et $q$ sont finis et que $\|f\|_{p}$ et $\|g\|_{q}$ sont finis et non nuls et même, sans perte de généralité, égaux à $1$ (par homogénéité).
   En appliquant l'inégalité de Young
   $ab\leq {\frac {a^{p'}}{p'}}+{\frac {b^{q'}}{q'}}\quad \mathrm {\grave {a}} \quad a=|f|^{r},~b=|g|^{r},~p'={\tfrac {p}{r}},~q'={\tfrac {q}{r}}\quad ({\tfrac {1}{p'}}+{\tfrac {1}{q'}}=1),$
   on obtient, pour tout $x\in \Omega$,
   $|f(x)g(x)|^{r}\leq {\tfrac {1}{p'}}|f(x)|^{p}+{\tfrac {1}{q'}}|g(x)|^{q}$
   (avec égalité si et seulement si $\left|f(x)\right|^{p}=\left|g(x)\right|^{q}$) et, après intégration,
   ${\|fg\|_{r}}^{r}\leq {\tfrac {1}{p'}}{\|f\|_{p}}^{p}+{\tfrac {1}{q'}}{\|g\|_{q}}^{q}={\tfrac {1}{p'}}+{\tfrac {1}{q'}}=1.$
   On a donc bien
   $\|fg\|_{r}\leq 1=\|f\|_{p}\|g\|_{q},$
   avec égalité si et seulement si $\left|f\right|^{p}=\left|g\right|^{q}$ p.p.
2. $\mathbb {N}$ muni de la tribu discrète et de la mesure de comptage.
3. Prendre $f=1$.
4. Supposons, comme dans la question 1, que $p$ et $q$ sont finis et que $\|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1$.
   En appliquant le lemme à la mesure de probabilité à densité $\nu :=|f|^{p}\mu$ sur l'ensemble $[f\neq 0]$ et à la fonction $G:=|f^{-p/q}~g|$, on obtient
   $\|fg\|_{\mathrm {L} ^{r}(\mu )}=\|G\|_{\mathrm {L} ^{r}(\nu )}\leq \|G\|_{\mathrm {L} ^{q}(\nu )}\leq \|g\|_{\mathrm {L} ^{q}(\mu )}=1$.
   On peut de plus remarquer que l'égalité a lieu si et seulement s'il existe une constante $C$ telle que, μ-p.p.,
   ${\Big (}{\big (}f(x)=0\Rightarrow g(x)=0{\big )}{\text{ et }}{\big (}f(x)\neq 0\Rightarrow G(x)=C{\big )}{\Big )}{\text{ i.e. }}|g(x)|^{q}=C^{q}|f(x)|^{p}$.
5. Le cas $q=+\infty$ ou $\|g\|_{q}=+\infty$ est immédiat et le cas $M$ quelconque se ramène facilement au cas $M=1$ en divisant $\mu$ par $M$. Supposons donc que $q<+\infty$ et $M=1$, et montrons que pour toute fonction $g\in \mathrm {L} ^{q}$,
   $\left(\int |g|^{r}~\mathrm {d} \mu \right)^{1/r}\leq \left(\int |g|^{q}~\mathrm {d} \mu \right)^{1/q}$
   ou encore, en posant $s=q/r$, que pour toute fonction positive $h\in \mathrm {L} ^{s}$,
   $\left(\int h\mathrm {d} \mu \right)^{s}\leq \int h^{s}~\mathrm {d} \mu$.
   Le cas où $h$ est intégrable résulte de l'inégalité de Jensen intégrale appliquée à la fonction $t\mapsto t^{s}$, qui est convexe sur $\mathbb {R} _{+}$ car $s\geq 1$. Le cas général s'en déduit par convergence monotone.

 

Exercice 1-4

Soient $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ une fonction convexe et $g:\left[0,1\right]\to \mathbb {R}$ une fonction continue par morceaux. En considérant des sommes de Riemann, redémontrer directement dans ce cas la version intégrale de l'inégalité de Jensen :

$f\left(\int _{0}^{1}g(x)\,\mathrm {d} x\right)\leq \int _{0}^{1}f\circ g(x)\,\mathrm {d} x$

à partir de la version discrète.

Solution

$f$ est continue (d'après la propriété 6) donc $f\circ g$ est, comme $g$, continue par morceaux donc :

$\int _{0}^{1}g(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}g\left({\frac {k}{n}}\right)$ et $\int _{0}^{1}f\circ g(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f\circ g\left({\frac {k}{n}}\right)$.

En utilisant l'inégalité de Jensen discrète, on obtient :

$f\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n}}g\left({\frac {k}{n}}\right)\right)\leq \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n}}f\circ g\left({\frac {k}{n}}\right)$.

En faisant tendre $n$ vers l'infini, on en déduit :

$f\left(\int _{0}^{1}g(x)\,\mathrm {d} x\right)=\lim _{n\to \infty }f\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n}}g\left({\frac {k}{n}}\right)\right)\leq \int _{0}^{1}f\circ g(x)\,\mathrm {d} x$.