Introduction à Maple/Polynômes

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Introduction

Les polynômes sont des objets mathématiques à part entière. Pour Maple, cependant, ils ne sont rien de plus que des expressions (comme les équations différentielles, par exemple). Ainsi, ce qui suit définit un polynôme P :

P := X^4 + 2*X + 3;

Opérations sur les polynômes

On peut, à l'instar des fonctions, additionner, soustraire, multiplier ou diviser des polynômes entre eux. Il est également facile de dériver ou d'intégrer des polynômes, d’en trouver des primitives… de la même manière qu'on le fait pour des fonctions.

Exemples :

P := X^4 + 2*X + 3;

diff(P, X); (retourne 4X³ + 2)

int(P, X=0..t); (retourne t⁵/5 + t² + 3t)

Exercice rapide : quelles sont les dérivées successives de P(X) = X⁹ ?

Évaluation d'un polynôme

Les polynômes sont des objets abstraits faisant intervenir une inconnue, X. Maple peut aussi traiter des polynômes à plusieurs variables mais cela dépasse le cadre de notre leçon. Nous avons parfois besoin de définir des fonctions polynomiales, construites à partir de polynômes et que l’on pourra alors évaluer. Par exemple, à partir d'un polynôme P = X² + X + 1, nous voudrions disposer d'une fonction p qui à t associe t² + t + 1.

Voici comment s'y prendre :

P := X^2 + X + 1 ;

p := t -> subs(X = t, P) ;

Nous avons utilisé une nouvelle instruction : subs. Elle remplace X par t dans P. On définit bien une fonction p à partir du polynôme P. Si on demande à Maple d'expliciter p, en écrivant p(t);, voici ce qui s'affiche :

t² + t + 1

Si je recherche une valeur pour t donné, par exemple p(5);, Maple renvoie 31 : victoire !

Dans certains cas, on veut définir des polynômes de matrices (nous verrons comment dans un prochain chapitre) ou de cosinus (Tchebychev), on utilisera le cas échéant la même instruction subs :

f := theta -> subs(X = cos(theta), P) ;

g := M -> subs(X = M, P) ;

Exercice rapide : … en manque d'inspiration.

Recherche des racines

Trouver les racines d'un polynôme, rien de plus facile ! Cela fonctionne exactement comme pour les fonctions étudiées au chapitre précédent :

P := X^3 + X^2 + X + 1 ;

p := t-> subs(X = t, P);

solve(p(t) = 0, t)

Exercice rapide : quelles sont les racines du polynôme X⁴ + X³ + X² + X + 1 ?

Résumé

Nous avons vu au cours de ce chapitre comment réaliser les opérations suivantes :

• définir un polynôme ;
• additionner, multiplier, soustraire, diviser… ;
• dériver, intégrer… ;
• définir une fonction à partir d'un polynôme (avec subs) ;
• évaluer une telle fonction ;
• chercher les racines d'un polynôme.

Dans les chapitres suivants, nous quittons temporairement l'analyse et l'algèbre pour introduire les listes et procédures, qui permettent d'écrire de véritables programmes informatiques, comme des algorithmes de tri, de recherche etc.