Sommation/Exercices/Formule du binôme

Formule du binôme
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Exercices no5
Leçon : Sommation
Chapitre du cours : Formule du binôme

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommation double
Exo suiv. :Sommation de combinaisons
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Sommation/Exercices/Formule du binôme
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Exercice 5-1Modifier

Soient  .

  1. Démontrer la formule des lignes :
     .
  2. En déduire la formule :
     .

Une autre méthode est proposée dans l'exercice 5-5 (voir infra). Pour une preuve moins calculatoire, voir l'exercice 2-8 ou Combinatoire/Exercices/Combinaisons#Exercice 4-1.

Remarque : la formule de la question 2 donne en particulier :

  • pour   :   ;
  • pour   :   ;
  • pour   :  .

Exercice 5-2Modifier

Soit  . Calculer :

 .

En déduire :

 .

Exercice 5-3Modifier

Calculer la somme suivante :

 .

Exercice 5-4Modifier

Soient   tels que  . En vous basant sur l'identité polynomiale :

 ,

redémontrez la formule de Vandermonde (chap. 1) :

 ,

dans laquelle l'indice k varie a priori dans  , mais le terme correspondant de la somme n'est non nul que si  .

Exercice 5-5Modifier

En développant le polynôme   de deux façons différentes, redémontrer la formule (voir supra) :

 .

Exercice 5-6Modifier

En utilisant la formule du binôme, ses dérivées ou ses primitives, calculer :

 .

Pour une autre méthode pour les questions a), c), d) et e), voir Combinatoire/Exercices/Combinaisons#Exercice 4-2.

Pour une généralisation des résultats a) et b), voir l'exercice 5-1 ci-dessus.

Exercice 5-7Modifier

En développant de deux façons le polynôme  , prouver que pour tout entier  ,

 

et en déduire que pour tout  ,

 .

Exercice 5-8Modifier

Pour tout entier   :

a) démontrer l'identité polynomiale :

  ;

b) en déduire :

  ;

c) retrouver ainsi le résultat de l'exercice 2-9 :

 .

Exercice 5-9Modifier

En développant, grâce à la formule du binôme, le polynôme   (où   est une constante et   une variable) et en dérivant les deux membres de l'égalité ainsi obtenue, montrer que la formule du binôme est invariante par dérivation. En déduire qu'elle est aussi invariante par intégration. Que peut-on en conclure ?

Exercice 5-10Modifier

Calculer :

 .

Exercice 5-11Modifier

Wikipédia possède un article à propos de « Polynôme de Tchebychev ».
  1. En s'inspirant de « Approche géométrique des nombres complexes/Apports à la trigonométrie#Formules de dé-linéarisation », construire, pour tout entier naturel  , deux polynômes en deux variables,   et  , tels que (pour tout réel  ) :
      et  ,
  2. En déduire deux suites de polynômes en une variable, uniques et traditionnellement notés   et  , tels que
      et  .
    Quel est leur degré ? Quels sont les polynômes  ,   et   ?
  3. Redémontrer par une récurrence d'ordre 2 l'existence d'un polynôme   tel que  , en calculant  .
  4. Calculer  ,  ,   et  .
  5. Calculer  ,  ,   et  .
  6. Déduire de la question 1 l'expression de   comme fraction rationnelle en  . Explicitez le résultat pour  .
  7. Montrer que   et en déduire que  .
  8. Trouver une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients non constants (dépendant de  ) vérifiée par  .