Introduction à l'acoustique/Modes propres

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Jusqu'ici, nous avons considéré que les ondes se propageaient dans des milieux « infinis ». Si cela est un modèle acceptable dans certaines conditions, il est difficile de s'y tenir pour faire des expériences — lesquelles seront toujours délimitées dans l'espace.

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Mode propre

On appelle mode propre une onde stationnaire dans un milieu de dimensions finies.

Nous montrerons que, bien qu'une infinité de tels « modes » existent, on peut les dénombrer (c'est-à-dire qu’il y a un mode 1, un mode 2, 3 ... mais pas de mode 1,2 ou 4,78 par exemple). D'autre part, nous montrerons comment l'étude de ces modes propres suffit à étudier tout problème d'onde (au premier ordre) dans le milieu.

Pour cela, nous considèrerons la vitesse (au lieu de la pression) qui a le bon goût de s'annuler aux limites de notre système d'étude, fournissant ainsi des conditions de bord. Cela est avant tout une question de simplicité — on peut tout à fait mener l'étude avec la pression, qui forme des « ventres » près des murs — mais cela est plus difficile à justifier physiquement.

Position du problème

On considère un problème à une dimension, par exemple un tube très fin et relativement long (de longueur L) — une paille ou une fibre optique. Nous cherchons les solutions stationnaires à l'équation d'onde pour v (c'est-à-dire une solution stationnaire de l'équation de d'Alembert) qui satisfasse les conditions de nullité aux bords.

L'équation de d'Alembert vérifiée par la vitesse, projetée sur l'axe, est :

${\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial t^{2}}}=0.$

Les conditions de bord sont :

$v(-{\frac {L}{2}})=0\ ;$

$v(+{\frac {L}{2}})=0.$

On suppose connue l'amplitude de ces ondes, notée A.

Résolution

On cherche des solutions stationnaires, c'est-à-dire de la forme :

$v\left(x,t\right)=A\cos(kx)\cos(\omega t).$

Relation de dispersion

Alors, l'équation de d'Alembert s'écrit :

$-Ak^{2}\cos \left(\omega t\right)\cos \left(kx\right)+A{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\cos \left(\omega t\right)\cos \left(kx\right)=0.$

On obtient :

$-k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0.$

D'où une première relation, qui n’est pas fondamentale, mais qui nous ramène à une seule inconnue (le nombre d'onde k) :

$\omega ^{2}=\left(ck\right)^{2}.$

Cette équation est appelée « relation de dispersion ».

Nombres d'onde

Vérifions maintenant dans quels cas les conditions aux limites sont vérifiées.

À compléter...

On peut voir déjà que tous les paramètres de l'onde sont fixés : vitesse (par le milieu), amplitude (par l'opérateur), nombre d'onde et pulsation.

Longueur d'onde

Pour mieux comprendre ce que sont ces modes propres, calculons la longueur d'onde qui leur est associée :

La longueur d'onde (en mètres) est égale à la célérité divisée par la fréquence (on pourrait aussi dire que c’est le produit de la célérité et de la période).

Son symbole est la lettre "lambda".

Un exemple: Sachant que la célérité du son dans l'air (à 20 °C) est de 343 mètres par seconde, la longueur d'onde correspondante a une fréquence de 343 Hz est 1 mètre.

Cas général