Introduction à l'acoustique/Modes propres

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Jusqu'ici, nous avons considéré que les ondes se propageaient dans des milieux « infinis ». Si cela est un modèle acceptable dans certaines conditions, il est difficile de s'y tenir pour faire des expériences — lesquelles seront toujours délimitées dans l'espace.

Modes propres
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Chapitre no 5
Leçon : Introduction à l'acoustique
Chap. préc. :Réflexion, réfraction, impédance acoustique
Chap. suiv. :Énergie acoustique
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Nous montrerons que, bien qu'une infinité de tels « modes » existent, on peut les dénombrer (c'est-à-dire qu’il y a un mode 1, un mode 2, 3 ... mais pas de mode 1,2 ou 4,78 par exemple). D'autre part, nous montrerons comment l'étude de ces modes propres suffit à étudier tout problème d'onde (au premier ordre) dans le milieu.

Pour cela, nous considèrerons la vitesse (au lieu de la pression) qui a le bon goût de s'annuler aux limites de notre système d'étude, fournissant ainsi des conditions de bord. Cela est avant tout une question de simplicité — on peut tout à fait mener l'étude avec la pression, qui forme des « ventres » près des murs — mais cela est plus difficile à justifier physiquement.

Position du problème modifier

On considère un problème à une dimension, par exemple un tube très fin et relativement long (de longueur L) — une paille ou une fibre optique. Nous cherchons les solutions stationnaires à l'équation d'onde pour v (c'est-à-dire une solution stationnaire de l'équation de d'Alembert) qui satisfasse les conditions de nullité aux bords.

L'équation de d'Alembert vérifiée par la vitesse, projetée sur l'axe, est :

 

Les conditions de bord sont :

 
 

On suppose connue l'amplitude de ces ondes, notée A.

Résolution modifier

On cherche des solutions stationnaires, c'est-à-dire de la forme :

 

Relation de dispersion modifier

Alors, l'équation de d'Alembert s'écrit :

 

On obtient :

 

D'où une première relation, qui n’est pas fondamentale, mais qui nous ramène à une seule inconnue (le nombre d'onde k) :

 

Cette équation est appelée « relation de dispersion ».

Nombres d'onde modifier

Vérifions maintenant dans quels cas les conditions aux limites sont vérifiées.


À compléter...


On peut voir déjà que tous les paramètres de l'onde sont fixés : vitesse (par le milieu), amplitude (par l'opérateur), nombre d'onde et pulsation.

Longueur d'onde modifier

Pour mieux comprendre ce que sont ces modes propres, calculons la longueur d'onde qui leur est associée :


La longueur d'onde (en mètres) est égale à la célérité divisée par la fréquence (on pourrait aussi dire que c’est le produit de la célérité et de la période).

Son symbole est la lettre "lambda".

Un exemple: Sachant que la célérité du son dans l'air (à 20 °C) est de 343 mètres par seconde, la longueur d'onde correspondante a une fréquence de 343 Hz est 1 mètre.

Cas général modifier

Théorème de Fourier modifier

Résolution modifier

Exemple modifier