Introduction à l'acoustique/Réflexion, réfraction, impédance acoustique

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Les sons sont des ondes. En tant que tels, ils peuvent subir des réflexions et des réfractions, tout comme la lumière. Cela nous amène même à définir l'impédance acoustique, en quelque sorte analogue de l'indice de réfraction optique pour les ondes sonores.

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Nous n'étudierons ici que le cas d'ondes planes en incidence normale, cas simple et abordable. Cela nous privera de l'étude de la réfraction des ondes sonores, dont nous ne donnerons que quelques propriétés.

Impédance acoustique

Impédance acoustique

Pour une onde plane, on appelle impédance acoustique d'un milieu pour une pulsation le rapport : $Z={\frac {p}{\|\mathbf {v} \|}}$.

Puisque la pression comme la vitesse obéissent à la même équation de propagation, ce nombre est une constante du milieu liée notamment au déphasage entre ces grandeurs.

L'impédance acoustique pourrait dépendre de la pulsation de l'onde acoustique !

L'impédance acoustique traduit la « résistance » d'un matériau au passage du son, de manière tout à fait analogue à l'impédance électrique. On va admettre qu'elle caractérise un milieu, mais en fait sa valeur peut dépendre de nombreux paramètres (gradients de température, de densité...).

On montre facilement que, dans nos approximations, $Z=\rho _{0}\cdot c$. Ainsi, l'impédance d'un milieu dépend de la vitesse à laquelle le son s'y propage. De manière tout à fait analogue, l'indice de réfraction d'un milieu dépend de la vitesse à laquelle la lumière s'y propage.

Selon le sens de propagation de l'onde, l'impédance acoustique sera positive ou négative !

Réflexion

On considère le cas simple d'une interface entre deux milieux. On admet que lorsque l'onde atteint cette interface, une partie traverse (l'onde « transmise ») et une partie est renvoyée (l'onde « réfléchie »). On considère ici uniquement les ondes en incidence normale.

Impédances acoustiques

La position du problème : on cherche l'onde réfléchie et l'onde transmise.

On suppose l'interface située en x = 0. On suppose que l'onde incidente arrive par la gauche et se propage vers la droite — elle a donc pour expression :

$p_{i}\left(x,t\right)=p_{i}\left(x-c_{1}t\right)$.

où c₁ est la vitesse du son dans le milieu de gauche. De même, l'onde transmise se propage vers la droite dans le milieu de droite :

$p_{t}\left(x,t\right)=p_{t}\left(x-c_{2}t\right)$.

où c₂ est la vitesse du son dans le milieu de droite. Enfin, l'onde réfléchie se propage vers la gauche dans le milieu de gauche, c'est-à-dire :

$p_{r}\left(x,t\right)=p_{r}\left(x+c_{1}t\right)$.

En notant respectivement Z₁ et Z₂ les impédances acoustiques du milieu de gauche et de droite, on peut relier ces pressions aux vitesses :

$\mathbf {v} _{i}={\frac {1}{Z_{1}}}p_{i}\,\mathbf {e_{x}}$ ; $\mathbf {v} _{r}=-{\frac {1}{Z_{1}}}p_{r}\,\mathbf {e_{x}}$ ; $\mathbf {v} _{t}={\frac {1}{Z_{2}}}p_{t}\,\mathbf {e_{x}}$.

Avec e_x un vecteur unitaire dirigé vers la droite. Pour résoudre entièrement le problème, il suffit de connaître les coefficients de transmission et de réflexion à l'interface :

$t_{p}={\frac {p_{t}}{p_{i}}}\left(0,t\right)$ ; $r_{p}={\frac {p_{r}}{p_{i}}}\left(0,t\right)$.

Attention ! Pour la vitesse, ces coefficients ne sont pas les mêmes !

Conditions de passage

Vitesse

S'agissant d'un fluide parfait (non-visqueux, non-diffusif...), il suffit d'imposer la continuité de la vitesse normale à l'interface :

$\left[\mathbf {v} \left(0^{+},t\right)-\mathbf {v} \left(0^{-},t\right)\right]\cdot \mathbf {e} _{x}=0$.

Ce qui implique directement :

$\mathbf {v} \left(0^{+},t\right)=\mathbf {v} \left(0^{-},t\right)\qquad (1)$.

Attention ! Il s'agit des vitesses totales !

Pression

La pression est une force par unité de surface. D'après la troisième loi de Newton, il y a ainsi continuité de la pression en 0, c'est-à-dire :

$p\left(0^{+},t\right)=p\left(0^{-},t\right)\qquad (2)$.

Attention ! Il s'agit des pressions totales !

Résolution

Nous allons pouvoir complètement résoudre le problème :

$(2)\qquad p_{t}(0,t)=p_{i}(0,t)+p_{r}(0,t)$

$(1)\qquad {\dfrac {1}{Z_{2}}}p_{t}(0,t)={\dfrac {1}{Z_{1}}}p_{i}(0,t)-{\dfrac {1}{Z_{1}}}p_{r}(0,t)$

Divisons ces deux expressions par p_i, on obtient :

${\begin{cases}t_{p}=1+r_{p}\\{\dfrac {1}{Z_{2}}}t_{p}={\dfrac {1}{Z_{1}}}\left(1-r_{p}\right)\end{cases}}$.

On en déduit facilement les coefficients recherchés :

${\begin{cases}t_{p}={\dfrac {2Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}\\r_{p}={\dfrac {Z_{2}-Z_{1}}{Z_{1}+Z_{2}}}\end{cases}}$.

Attention ! Si vous êtes familiers de l'électromagnétisme, ces formules sont différentes de celles observées pour la lumière ! Cela est du au fait que l'impédance varie comme la vitesse de propagation, alors que l'indice de réfraction varie comme son inverse : les formules sont « inversées » !

Exemple

Pour l'air, Z_air = 400 SI. Pour l'eau, Z_eau = 1,4.10⁶ SI. On trouve :

$t_{p}\approx 1,99$ ; $r_{p}\approx 0,99$.

L'onde est donc pratiquement totalement réfléchie.

Réfraction

À l'instar de la lumière, les ondes sonores peuvent subir une réfraction : non seulement leur intensité est-elle modifiée (c'est la notion d'onde transmise étudiée ci-dessus), mais également leur direction. Le phénomène de réfraction est en fait une propriété générale des ondes, il en découle que la loi de Snell-Descartes pour la réfraction possède un analogue dans ce cadre. Seulement, à cause des définitions inverses d'impédance et d'indice optique, cette loi est « inversée » :

$Z_{2}\sin i_{1}=Z_{1}\sin i_{2}$.