Introduction à la cinématique/Exercices/Mouvement de rotation uniformément accéléré

Démarrage d'un moteur électrique

Un moteur électrique met deux secondes pour atteindre sa vitesse de régime 1 500 tr/min. Si l’on suppose le mouvement uniformément accéléré :

1. Calculer l'accélération angulaire du mouvement.
2. Déterminer le nombre de tours effectués pendant toute la durée du démarrage.
3. Tracer les trois courbes suivantes
   • Angle parcouru en fonction du temps.
   • Fréquence de rotation en fonction du temps.
   • Accélération angulaire en fonction du temps.
4. Déterminer la vitesse et l'accélération d'un point de la périphérie du rotor R = 100 mm dans les deux cas suivants :
   • en régime normal 1 500 tr/min.
   • à l'instant t = 1 s.

Solution

1. Il s’agit d'un mouvement de rotation uniformément accéléré, tels que
   • l’accélération angulaire ${\ddot {\theta }}$ est constante
   • la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}={\ddot {\theta }}t+{\dot {\theta }}_{0}$
   • l'angle parcouru $\theta ={\frac {{\ddot {\theta }}t^{2}}{2}}+{\dot {\theta }}_{0}t+\theta _{0}$
   avec $\theta _{0}$ l'angle déjà parcouru, t = 2 s le temps après le mouvement, t₀ le temps au début du mouvement, la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}=1\ 500\ {\text{tr}}\cdot {\text{min}}^{-1}$ et la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}_{0}$ initiale. Pour calculer ${\ddot {\theta }}$, on applique la formule suivante.

   ${\begin{aligned}{\dot {\theta }}&={\ddot {\theta }}t+{\dot {\theta }}_{0}\\{\ddot {\theta }}t&={\dot {\theta }}-{\dot {\theta }}_{0}\\{\ddot {\theta }}&={\frac {{\dot {\theta }}-{\dot {\theta }}_{0}}{t}}\end{aligned}}$

   Application numérique

   ${\begin{aligned}{\ddot {\theta }}&={\frac {1\ 500\times {\frac {2\pi }{60}}-0}{2}}\\{\ddot {\theta }}&=25\pi \approx 75{,}540\ {\text{rad}}\cdot {\text{s}}^{-2}\end{aligned}}$

2. On calcule $\theta$ en utilisant l'équation suivante.

   $\theta ={\frac {{\ddot {\theta }}t^{2}}{2}}+{\dot {\theta }}_{0}t+\theta _{0}$

   Application numérique

   ${\begin{aligned}\theta &={\frac {25\pi \times 2^{2}}{2}}+0t+0\\\theta &=50\pi \approx 157{,}080\ {\text{rad}}\\\theta &={\frac {50\pi }{2\pi }}=25\ {\text{tr}}\end{aligned}}$

3. • 
   • 
   • 
4. • En régime normal, la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}$ = 1 500 tr⋅min⁻¹ et l’accélération angulaire ${\ddot {\theta }}$ = 0 rad⋅s⁻². On calcule l'accélération générale γ_G du point à rayon R en fonction de l’accélération normale γ_N et tangentielle γ_T.

     $\gamma _{G}={\sqrt {{\gamma _{N}}^{2}+{\gamma _{T}}^{2}}}$

     or

     $\gamma _{N}={\dot {\theta }}^{2}\times R$

     et

     $\gamma _{T}={\ddot {\theta }}\times R$

     donc

     $\gamma _{G}={\sqrt {({\dot {\theta }}^{2}\times R)^{2}+({\ddot {\theta }}\times R)^{2}}}$

     Application numérique

     ${\begin{aligned}\gamma _{G}&={\sqrt {[(1\ 500\times {\frac {2\pi }{60}})^{2}\times 0{,}1]^{2}+(0\times 0{,}1)^{2}}}\\\gamma _{G}&=250\pi ^{2}\approx 2{,}467\times 10^{4}\ {\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-2}\end{aligned}}$

     On calcule aussi la vitesse V.

     $V={\dot {\theta }}\times R$

     Application numérique

     ${\begin{aligned}V&=1\ 500\times {\frac {2\pi }{60}}\times 0{,}1\\V&=5\pi \approx 15{,}708\ {\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-1}\end{aligned}}$

   • On calcule l'accélération générale γ_G à ce point à t = 1 s avec une accélération angulaire ${\ddot {\theta }}$ = 25π rad⋅s⁻². On calcule d'abord la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}$ à t = 1 s.

     ${\dot {\theta }}={\ddot {\theta }}t+{\dot {\theta }}_{0}$

     Application numérique

     ${\begin{aligned}{\dot {\theta }}&=25\pi \times 1+0\\{\dot {\theta }}&=25\pi \approx 78{,}540\ {\text{rad}}\cdot {\text{s}}^{-1}\end{aligned}}$

     On calcule maintenant γ_G.

     $\gamma _{G}={\sqrt {({\dot {\theta }}^{2}\times R)^{2}+({\ddot {\theta }}\times R)^{2}}}$

     Application numérique

     ${\begin{aligned}\gamma _{G}&={\sqrt {[(25\pi )^{2}\times 0{,}1]^{2}+(25\pi \times 0{,}1)^{2}}}\\\gamma _{G}&={\frac {5\pi {\sqrt {625\pi ^{2}+1}}}{2}}\approx 616{,}900\ {\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-2}\end{aligned}}$

     On détermine la vitesse du point en utilisant la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}$ qu'on a calculé.

     $V={\dot {\theta }}\times R$

     Application numérique

     ${\begin{aligned}V&=25\pi \times 0{,}1\\V&=2{,}5\pi \approx 7{,}854\ {\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-1}\end{aligned}}$

 

Démarrage d'un arbre de transmission

Un arbre de transmission démarre d'un mouvement uniformément accéléré. Il fait 12,5 tours pendant les 5 premières secondes.

1. Déterminer l'accélération angulaire du mouvement.
2. Déterminer la vitesse de rotation en régime normal après démarrage.
3. Calculer la vitesse et l'accélération d'un point de la périphérie de l’arbre R = 60 mm dans les deux cas suivants :
   • en régime normal, à vitesse constante.
   • après deux secondes.

Solution

1. Il s’agit d'un mouvement de rotation uniformément accéléré, tels que
   • l’accélération angulaire ${\ddot {\theta }}$ est constante
   • la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}={\ddot {\theta }}t+{\dot {\theta }}_{0}$
   • l'angle parcouru $\theta ={\frac {{\ddot {\theta }}t^{2}}{2}}+{\dot {\theta }}_{0}t+\theta _{0}$
   avec $\theta$ = 12,5 tr l’angle parcouru, $\theta _{0}$ = rad l'angle déjà parcouru, t = 5 s le temps après le mouvement, t₀ = 0 s le temps au début du mouvement, la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}$ et la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}_{0}$ initiale. Pour calculer ${\ddot {\theta }}$, on applique la formule suivante.

   ${\begin{aligned}\theta &={\frac {{\ddot {\theta }}t^{2}}{2}}+{\dot {\theta }}_{0}t+\theta _{0}\\{\frac {{\ddot {\theta }}t^{2}}{2}}&=\theta -{\dot {\theta }}_{0}t-\theta _{0}\\{\ddot {\theta }}&={\frac {2(\theta -{\dot {\theta }}_{0}t-\theta _{0})}{t^{2}}}\end{aligned}}$

   Application numérique

   ${\begin{aligned}{\ddot {\theta }}&={\frac {2\times (12{,}5\times {\frac {2\pi }{60}}-0\times 5-0)}{5^{2}}}\\{\ddot {\theta }}&=2\pi \approx 6{,}283\ {\text{rad}}\cdot {\text{s}}^{-2}\end{aligned}}$

2. A t = 5 s, l'accélération angulaire ${\ddot {\theta }}$ = rad⋅s⁻² et la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}$ est constante. On détermine ${\dot {\theta }}$.

   ${\dot {\theta }}={\ddot {\theta }}t+{\dot {\theta }}_{0}$

   Application numérique.

   ${\begin{aligned}{\dot {\theta }}&=2\pi \times 5+0\\{\dot {\theta }}&=10\pi \approx 31{,}416\ {\text{rad}}\cdot {\text{s}}^{-1}\end{aligned}}$

3. • En régime normal, la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}$ = 10π rad⋅s⁻¹ et l’accélération angulaire ${\ddot {\theta }}$ = 0 rad⋅s⁻². On calcule l'accélération générale γ_G du point à rayon R en fonction de l’accélération normale γ_N et tangentielle γ_T.

     $\gamma _{G}={\sqrt {{\gamma _{N}}^{2}+{\gamma _{T}}^{2}}}$

     or

     $\gamma _{N}={\dot {\theta }}^{2}\times R$

     et

     $\gamma _{T}={\ddot {\theta }}\times R$

     donc

     $\gamma _{G}={\sqrt {({\dot {\theta }}^{2}\times R)^{2}+({\ddot {\theta }}\times R)^{2}}}$

     Application numérique

     ${\begin{aligned}\gamma _{G}&={\sqrt {[(10\pi )^{2}\times 0{,}06]^{2}+(0\times 0{,}06)^{2}}}\\\gamma _{G}&=6\pi ^{2}\approx 59{,}218\ {\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-2}\end{aligned}}$

     On calcule aussi la vitesse V.

     $V={\dot {\theta }}\times R$

     Application numérique

     ${\begin{aligned}V&=10\pi \times 0{,}06\\V&=0{,}6\pi \approx 1{,}885\ {\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-1}\end{aligned}}$

   • On calcule l'accélération générale γ_G à ce point à t = 2 s avec une accélération angulaire ${\ddot {\theta }}$ = 2π rad⋅s⁻². On calcule d'abord la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}$ à t = 2 s.

     ${\dot {\theta }}={\ddot {\theta }}t+{\dot {\theta }}_{0}$

     Application numérique

     ${\begin{aligned}{\dot {\theta }}&=2\pi \times 2+0\\{\dot {\theta }}&=4\pi \approx 12{,}566\ {\text{rad}}\cdot {\text{s}}^{-1}\end{aligned}}$

     On calcule maintenant γ_G.

     $\gamma _{G}={\sqrt {({\dot {\theta }}^{2}\times R)^{2}+({\ddot {\theta }}\times R)^{2}}}$

     Application numérique

     ${\begin{aligned}\gamma _{G}&={\sqrt {[(4\pi )^{2}\times 0{,}06]^{2}+(2\pi \times 0{,}06)^{2}}}\\\gamma _{G}&={\frac {3\pi {\sqrt {64\pi ^{2}+1}}}{25}}\approx 9{,}482\ {\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-2}\end{aligned}}$

     On détermine la vitesse du point en utilisant la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}$ qu'on a calculé.

     $V={\dot {\theta }}\times R$

     Application numérique

     ${\begin{aligned}V&=4\pi \times 0{,}06\\V&=0{,}24\pi \approx 0{,}754\ {\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-1}\end{aligned}}$

 

Hélice d'avion

Dès l'instant où le moteur est coupé, une hélice d'avion qui tournait à la vitesse de 1 200 tr/min effectue 80 tours jusqu'à l'arrêt complet. Si l'on suppose le mouvement uniformément décéléré, on demande :

1. La durée totale de ce mouvement.
2. Tracer les trois courbes suivantes
   • Angle parcouru en fonction du temps.
   • Fréquence de rotation en fonction du temps.
   • Accélération angulaire en fonction du temps.
3. Calculer la vitesse et l'accélération d'un point de l'extrémité de l’helice R = 1 000 mm dans les deux cas suivants :
   • 60 tours avant l'arrêt complet.
   • en régime normal à 1 200 tr/min.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}