Introduction à la cinématique/Exercices/Mouvement de rotation uniforme

Aiguilles d'une montre

Déterminer la vitesse angulaire des aiguilles d'une montre.

1. Cas de l'aiguille des secondes.
2. Cas de l'aiguille des heures.
3. Cas de l'aiguille des minutes.

Solution

1. L'aiguille se déplace de 2π chaque minute ou 60 secondes. La fréquence de rotation ω est donc:

   ${\begin{aligned}\omega &={\frac {2\pi }{60}}\\\omega &={\frac {\pi }{30}}\approx 0{,}105\ {\text{rad}}\cdot {\text{s}}^{-1}\end{aligned}}$

2. L'aiguille se déplace de 2π chaque 12 heures:

   ${\begin{aligned}\omega &={\frac {2\pi }{12\times 60\times 60}}\\\omega &={\frac {\pi }{21\ 600}}\approx 1{,}454\times 10^{-4}\ {\text{rad}}\cdot {\text{s}}^{-1}\end{aligned}}$

3. L'aiguille se déplace de 2π chaque heure:

   ${\begin{aligned}\omega &={\frac {2\pi }{60\times 60}}\\\omega &={\frac {\pi }{1\ 800}}\approx 1{,}745\times 10^{-3}\ {\text{rad}}\cdot {\text{s}}^{-1}\end{aligned}}$

 

Vitesse de rotation de la Terre

1. Déterminer la vitesse angulaire de la rotation de la Terre autour de son axe en admettant que la Terre effectue un tour en 24 heures.
2. En déduire la vitesse d'un point situé sur l’équateur si la circonférence de la Terre mesure 40 000 km.
3. Déterminer dans ce même cas l’accélération de ce point.
4. Même question pour un point situé à 45 ° de latitude nord.

Solution

1. La Terre fait une rotation complète à une fréquence de rotation ω_Terre:

   ${\begin{aligned}\omega _{\text{Terre}}&={\frac {2\pi }{24\times 60\times 60}}\\\omega _{\text{Terre}}&={\frac {\pi }{43\ 200}}\approx 7{,}272\times 10^{-5}\ {\text{rad}}\cdot {s}^{-1}\end{aligned}}$

2. On détermine la vitesse d'un point à l'équateur V où le rayon de la Terre est R_Terre = 400 000 km. On applique la formule :

   $V=\omega _{\text{Terre}}\times R_{\text{Terre}}$

   Soit numériquement:

   ${\begin{aligned}V&={\frac {\pi }{43\ 200}}\times 4\times 10^{7}\\V&={\frac {25\ 000\pi }{27}}\approx 2{,}909\times 10^{3}\ {\text{m}}\cdot {s}^{-1}\end{aligned}}$

3. On détermine l'accélération normale γ_N de ce point en utilisant la formule suivante:

   $\gamma _{N}={\omega _{Terre}}^{2}\times R_{\text{Terre}}$

   On applique l'équation numériquement.

   ${\begin{aligned}\gamma _{N}&=({\frac {\pi }{43\ 200}})^{2}\times 4\times 10^{7}\\\gamma _{N}&={\frac {125\pi ^{2}}{5\ 832}}\approx 0{,}212\ {\text{m}}\cdot {s}^{-2}\end{aligned}}$

4. À un point situé à 45 ° de latitude nord, on calcule sa vitesse V_{45 °} en utilisant la formule suivante:

   ${\begin{aligned}V_{\deg {45}}&=\omega _{Terre}\times R_{\deg {45}}\\V_{\deg {45}}&=\omega _{Terre}\times sin(\deg {45})\times R_{\text{Terre}}\end{aligned}}$

   Soit numériquement:

   ${\begin{aligned}V_{\deg {45}}&={\frac {\pi }{43\ 200}}\times sin(\deg {45})\times 4\times 10^{7}\\V_{\deg {45}}&={\frac {sin(\deg {45})\times 25\ 000\pi }{27}}\approx 2{,}057\ {\text{m}}\cdot {s}^{-1}\end{aligned}}$

 

Tour de production

Sur un tour de production, on usine une pièce de 100 mm de diamètre. La pièce tourne à la vitesse de 300 tr/min.

1. Quelle est la vitesse de coupe utilisée en m/min ?
2. Même question pour une pièce de 300 mm de diamètre et une fréquence de rotation de 150 tr/min.

Solution

1. Le mouvement de la pièce est une rotation uniforme. Pour la pièce qui a un diamètre d = 100 mm et une fréquence de rotation de ω = 300 tr/min, on a:

   $\omega =300\times 2\pi =600\pi \ {\text{rad}}\cdot {\text{min}}^{-1}$

   Pour calculer V, on applique la formule suivante:

   $V=\omega \times d$

   Soit numériquement:

   ${\begin{aligned}V&=600\pi \times 0{,}1\\V&=60\pi \approx 188{,}50\ {\text{m}}\cdot {\text{min}}^{-1}\end{aligned}}$

2. Pour d = 300 mm et ω = 150 tr/min, on a :

   ${\begin{aligned}V&=150\times 2\pi \times 0{,}3\\V&=90\pi \approx 282{,}74\ {\text{m}}\cdot {\text{min}}^{-1}\end{aligned}}$