Introduction à la magnétohydrodynamique/Ondes en MHD idéale

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Introduction

On sait que les fluides comme les champs électrique et magnétique peuvent subir des ondes. Nous allons montrer que les fluides conducteurs en ont également. Dans nos hypothèses d'étude, nous n'en verrons que certaines : en effet, il existe une variété de phénomènes ondulatoires, classés en plusieurs groupes — ce n’est pas l’objet de cette leçon introductive.

Pour des raisons de lisibilité, la démonstration complète de l’existence d'ondes en MHD idéale a été étalée sur trois chapitres.

Mise en équations

Hypothèses

• L'écoulement du fluide étudié est incompressible (donc la masse volumique μ du fluide est constante) et parfait (pas de viscosité) ;
• L'influence du poids est négligeable devant la force magnétique (de densité j × B) ;
• Le fluide est électriquement neutre (ρ = 0) ;
• On est dans une approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) : on néglige la variation du champ électrique.

Équations de Maxwell

Les équations de Maxwell s'écrivent :

• $\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$
• $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
• $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$
• $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

La variation de E, d'ores et déjà considérée faible, est de plus divisée par c². La dernière équation se réécrit donc :

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j}$

Cette approximation est en toute rigueur valable lorsque :

${\frac {\left|j_{D}\right|}{\left|j\right|}}\ll 1$

avec j_D le courant de déplacement, c'est-à-dire le terme que l’on a négligé. En ordre de grandeur :

$j\approx \gamma E$ $j_{D}\approx \varepsilon _{0}\omega E$

Ainsi, on peut en toute légitimité faire l'approximation qu'on a faite tant que :

$\gamma \gg \varepsilon _{0}\omega$

Équation d'Euler et MHD idéale

L'équation d'Euler pour le fluide considéré s'écrit :

$\mu \left[{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {v} \right]=-\nabla p+\mathbf {j} \times \mathbf {B}$

En MHD idéale, le fluide n’est pas résistif, donc la conductivité tend vers l'infini :

$\gamma \to \infty$

On vérifie que cela est tout à fait compatible avec (et même renforce) la condition de validité de l'ARQS, et que, pour une densité de courant bornée :

$\left|\!\left|\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right|\!\right|{\xrightarrow[{\gamma \to \infty }]{}}0$

Attention aux notations ! Ici et dans toute la suite, nous avons noté μ la masse volumique du fluide. Cette quantité n'a aucun rapport avec μ₀.

Projection des équations

Le système naturel de coordonnées est cartésien. On notera donc (x, y, z) les axes de coordonnées, portés par les vecteurs unitaires (e_x, e_y, e_z). En effet, par linéarité, on peut décomposer selon chaque coordonnée les équations pour les étudier séparément : notre cas particulier ne restreint pas l'étude.

On suppose le fluide soumis à un champ magnétique constant :

$\mathbf {B} _{0}=B_{0}\,\mathbf {e} _{z}$

Dans le fluide, une onde électromagnétique polarisée rectilignement selon y se propage. On note son champ magnétique :

$\mathbf {b} =b\mathbf {e} _{y}$

Le problème étant invariant par translation dans le plan (x, y), on sait que ce champ ne dépend que de z. Ainsi, on a :

$\mathbf {b} =b\left(z,t\right)\mathbf {e} _{y}$ $\mathbf {B} =\left(0,b,B_{0}\right)$

Densité de courant

D'après l'équation de Maxwell-Ampère :

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} =-{\frac {\partial b}{\partial z}}\mathbf {e} _{x}$

Donc la densité de courant est :

$\mathbf {j} =-{\frac {1}{\mu _{0}}}{\frac {\partial b}{\partial z}}\mathbf {e} _{x}$

Champ électrique

On note $E_{x},\;E_{y},\;E_{z}$ les coordonnées du champ électrique. Par invariances, chacune ne dépend que de z et de t. D'après l'équation de Maxwell-Faraday, on sait que :

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {E} &=\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\times \left(E_{x}\mathbf {e} _{x}+E_{y}\mathbf {e} _{y}+E_{z}\mathbf {e} _{z}\right)\\\ &={\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}\mathbf {e} _{y}-{\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}\mathbf {e} _{x}\end{aligned}}$

Ainsi, on a :

${\begin{cases}{\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}=0\\{\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}=-{\frac {\partial b}{\partial t}}\end{cases}}$

La première équation implique que E_y est constante. Bien que, dans tous les problèmes ondulatoires, on considère les quantités constantes et uniformes comme nulle, un argument plus solide ici est que le champ électrique est nul à l'instant initial. Ainsi :

E n'a pas de composante selon y.

Enfin, d’après l'équation de Maxwell-Gauss, le fluide étant neutre :

$\nabla \cdot \mathbf {E} =0$

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}={\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}$

De même que précédemment, cette relation implique la constance et la nullité de E_z donc :

E n'a pas de composante selon z.

En conclusion, nous avons montré la chose suivante :

Le champ électrique est uniquement porté par e_x.

Vitesse de l'écoulement

La condition d'incompressibilité du fluide se traduit par :

$\nabla \cdot \mathbf {v} =0$

On en déduit, de même que précédemment pour le champ électrique, le résultat suivant :

v n'a pas de composante selon z.

La loi d'Ohm, comme on l'a vu, implique en MHD idéale la relation suivante :

$\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} =0$

$\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} =E\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}B_{0}\,\mathbf {e} _{x}+v_{x}B_{0}\,\mathbf {e} _{y}+v_{x}b\,\mathbf {e} _{z}$

On en déduit uniquement que v n'a pas de composante selon x, et on vérifie que v n'a pas de composante selon z. De plus, la condition :

$E+vB_{0}=\mathbf {0}$

est vérifiée. En conclusion, nous avons montré que la vitesse de l'écoulement est uniquement selon e_y.

Accélération convective et pression

Avec ce que l’on a montré précédemment, l'accélération convective a pour expression :

$\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {v} =\left[v\mathbf {e} _{y}\cdot \left(\nabla \right)\right]v\mathbf {e} _{y}$

En projetant sur les trois axes de coordonnées, on obtient directement :

$\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {v} =\mathbf {0}$

Revenons donc à l'équation d'Euler :

$\mu {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}=-\nabla p+\mathbf {j} \times \mathbf {B}$

Calculons ce dernier terme, représentant la densité volumique de force magnétique :

$\mathbf {j} \times \mathbf {B} =-{\frac {1}{\mu _{0}}}{\frac {\partial b}{\partial z}}\mathbf {e} _{x}\times {\begin{pmatrix}0\\b\\B_{0}\end{pmatrix}}=-{\frac {1}{\mu _{0}}}{\frac {\partial b}{\partial z}}{\begin{pmatrix}0\\-B_{0}\\b\end{pmatrix}}$

En projetant l'équation d'Euler sur les trois axes de coordonnée :

${\begin{cases}0={\frac {\partial p}{\partial x}}\\\mu {\frac {\partial v}{\partial t}}=-{\frac {\partial p}{\partial y}}+{\frac {B_{0}}{\mu _{0}}}{\frac {\partial b}{\partial z}}\\0=-{\frac {\partial p}{\partial z}}-{\frac {b}{\mu _{0}}}{\frac {\partial b}{\partial z}}\end{cases}}$

On tire de la dernière équation qu’il existe une constante P₀ telle que :

$p=P_{0}-{\frac {b^{2}}{2\mu _{0}}}$

Ce qui implique qu'en présence d'un champ magnétique, la pression diminue. Cela est lié au concept de « pression magnétique ».

Par raison d'invariances, la pression ne dépend que de z. Ainsi, l'équation d'Euler se réduit à :

$\mu {\frac {\partial v}{\partial t}}={\frac {B_{0}}{\mu _{0}}}{\frac {\partial b}{\partial z}}$

Ce qui implique que les déplacements du fluide sont influencés par le champ magnétique.