Introduction à la magnétohydrodynamique/Loi d'Ohm en milieu magnétisé

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Position du problème et notations

On considère un matériau constitué de particules, de charge q et de masse m chacune. On note n leur densité, c'est-à-dire le nombre de particules par unité de volume.

On notera E le champ électrique, B le champ magnétique. On considèrera l'influence de la gravité faible devant la force électromagnétique.

Loi d'Ohm

On observe que, lorsque l'un de ces porteurs de charges se déplace à une vitesse v, il subit une force s'opposant à son déplacement :

$\mathbf {f} =-{\frac {m}{\tau }}\mathbf {v}$

Il s'agit d'une expression analogue à celle du frottement qu'exercerait un fluide — mais son origine est tout autre : en effet, on considère qu'elle traduit les « collisions » entre porteurs de charges. De fait, on sait qu'alors :

Le paramètre τ représente le « temps de vol » entre deux collisions, il est appelé temps de libre parcours moyen.

On admet que ce paramètre est une constante du milieu. Nous appliquons le principe fondamental de la dynamique à un porteur de charge :

$m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)-{\frac {m\mathbf {v} }{\tau }}$

À partir d'un certain temps, les forces s'équilibrent et on atteint un régime permanent. L'équation ci-dessus s'écrit alors :

$0=q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)-{\frac {m\mathbf {v} }{\tau }}$

D'où on tire facilement :

$\mathbf {v} ={\frac {q\tau }{m}}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$

Le vecteur densité de courant, défini par j = ρ v vaut alors :

$\mathbf {j} =nq\mathbf {v} ={\frac {nq^{2}\tau }{m}}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$

On a donc une loi d'Ohm locale :

Début d’un principe

Loi d'Ohm locale en milieu magnétisé

$\mathbf {j} =\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$

avec :

$\gamma ={\frac {nq^{2}\tau }{m}}$

Cette dernière quantité est appelée conductivité du matériau.

Fin du principe

Remarque. le seul paramètre qui n’est pas directement accessible à l'expérience dans ce cas est le temps τ. On peut le déduire de la force de frottement observée, ou de la conductivité du matériau.

Une autre interprétation de τ

Dans ce qui précède, une autre interprétation possible du paramètre τ est qu’il s'agit du « temps de relaxation » avant d'atteindre le régime stationnaire, donc en quelque sorte :

Le paramètre τ caractérise la durée à partir de laquelle la loi d'Ohm est vérifiée.

Lorsque le milieu est très dilué, cette durée augmente (alors que la densité diminue). Ainsi :

Début d’un principe

Condition de validité

La loi d'Ohm établie plus haut est valable dans des matériaux relativement denses

Fin du principe

Dans toute la suite de la leçon, nous admettrons que cette loi est vérifiée.