Introduction à la théorie des nombres/Annexe/Une 2ème démonstration de la transcendance de e

Si $\mathrm {e}$ était algébrique, il existerait un polynôme $P(X)=\sum _{k=0}^{n}q_{k}X^{k}$, tel que $P(\mathrm {e} )=0$, avec $q_{0}\neq 0$ Pour tout polynôme $Q$ on a donc $P(e)\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t}Q(t){\text{.d}}t=0$, dont on déduit $\sum _{k=0}^{n}q_{k}\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{k-t}Q(t){\text{.d}}t=0$. En utilisant la relation de Chasles et le changement de variable $x=t-k$ pour calculer chacune de ces intégrales dans cette somme, on obtient : $\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{k-t}Q(t){\text{.d}}t=\int _{-k}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-x}Q(x+k){\text{.d}}x=\int _{-k}^{0}\mathrm {e} ^{-x}Q(x+k){\text{.dx}}+\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-x}Q(x+k){\text{.d}}x$. On a donc : $\sum _{k=0}^{n}q_{k}\int _{-k}^{0}\mathrm {e} ^{-t}Q(t+k){\text{.d}}t+\sum _{k=1}^{n}q_{k}\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t}Q(t+k){\text{.d}}t=0$, cela nous permet de définir de deux façons différentes une application $f_{P}$ de $\mathbb {Z} [X]$ dans $\mathbb {R} ^{+}$ telle que

Une 2^e démonstration sans formule de Leibniz et dérivation simplifie légèrement la preuve de la transcendance de e

$$f_{P}(Q)=|\sum _{k=0}^{n}q_{k}\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t}Q(t+k){\text{.d}}t|=|\sum _{k=1}^{n}\int _{-k}^{0}q_{k}\mathrm {e} ^{-t}Q(t+k){\text{.d}}t|$$

En fait, il s'agit d'une application de $\mathbb {Z} [X]$ dans l'ensemble des entiers naturels N, car étant donné $F_{n}=\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t}t^{n}{\text{.d}}t$, on vérifie que $F_{0}=[-\mathrm {e} ^{-t}]_{0}^{+\infty }=\mathrm {e} ^{0}=1$ et pour $n\geqslant 1$, à l'aide de cette intégration par parties $\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t}t^{n}.\mathrm {d} t=[-\mathrm {e} ^{-t}t^{n}]_{0}^{+\infty }+\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t}nt^{n-1}.\mathrm {d} t$, on obtient la relation de récurrence $F_{n}=n\times F_{n-1}$, d'où $F_{n}=n!\,$.

Si $Q(X)=X^{p-1}\prod _{i=1}^{n}(X-i)^{p}$, dans le produit $Q(X+k)=(X+k)^{p-1}\prod _{i=1}^{n}(X+k-i)^{p}$ apparaît le facteur $X^{p}$ lorsque $i=k$, tous les polynômes $Q(X+k)$ pour $k\in [1;n]\cap$N sont alors sommes de monômes de degré supérieur ou égal à $p$. Tous les termes d'indice $k\geqslant 1$ dans la première somme qui définit $f_{P}(Q)$ sont donc des entiers divisibles par $p!$, car ils sont combinaisons linéaires à coefficients entiers de termes de la suite $\left((n+p)!\right)_{n\in {N}}$. Le terme d'indice $k=0$ est seulement un multiple de $(p-1)!$ qui peut s'écrire sous la forme $q_{0}((-1)^{n}n!)^{p}(p-1)!+qp!$, avec $q\in$N, car le monôme de plus bas degré de $Q(X)$ est $q_{0}((-1)^{n}n!)^{p}X^{p-1}$. Au final $f_{P}(Q)$ peut s'écrire sous la forme $|q_{0}((-1)^{n}n!)^{p}(p-1)!+ap!|$ avec $a\in$N. Pour autoriser une minoration de l'entier positif $f_{P}(Q)$ par son diviseur $(p-1)!$, il faut s'assurer que $f_{P}(Q)$ ne soit pas nul. On évite à coup sûr cette éventualité avec un entier $p$ premier strictement supérieur à $n$ et $q_{0}$, pour que celui ci ne puisse pas être facteur premier de $q_{0}((-1)^{n}n!)^{p}(p-1)!$, et ne puisse pas ainsi diviser $f_{P}(Q)$, on a donc l'implication :

$$Q(X)=X^{p-1}\prod _{i=1}^{n}(X-i)^{p}{\text{ avec }}p{\text{ premier dans N }}\cap ]n,+\infty [\cap ]q_{0},+\infty [\qquad \Rightarrow \qquad (p-1)!\leqslant f(Q)\qquad (1)$$

Mais lorsque $Q(X)=X^{p-1}\prod _{i=1}^{n}(X-i)^{p}$, les intégrales figurant dans la deuxième expression de $f(Q)$ peuvent être aisément majorées, car dans chacune d'elle la variable $t$ doit appartenir à l'intervalle $[-k,0]$. Dans ces conditions, on a $t+k\in [0,k]\subset [0,n]$ et les $(n+1)p-1$ facteurs du produit $|Q(t+k)|=|t+k|^{p-1}\prod _{i=1}^{n}|t+k-i|^{p}$ prennent donc leurs valeurs dans $[0,n]$, étant donné que $t+k$ et $i$ sont eux-mêmes dans cet intervalle. Quel que soit l'entier $p$, on en déduit l'implication suivante :

$$Q(X)=X^{p-1}\prod _{i=1}^{n}(X-i)^{p}\qquad \Rightarrow \qquad f_{P}(Q)\leqslant \sum _{k=1}^{n}\int _{-k}^{0}|q_{k}|\mathrm {e} ^{-t}|Q(t+k)|{\text{.d}}t\leqslant \sum _{k=1}^{n}|q_{k}|\mathrm {e} ^{k}n^{(n+1)p}\qquad (2)$$

Étant donné les constantes $A=n^{n+1}$ et $C=\sum _{k=1}^{n}|q_{k}|\mathrm {e} ^{k}$ dépendantes du seul polynôme $P$, on déduit des inégalités (1)et (2) l'implication suivante :

$$p{\text{ premier dans N }}\cap ]n,+\infty [\cap ]q_{0},+\infty [\qquad \Rightarrow \qquad (p-1)!\leqslant C.A^{p}$$

Cela permettrait de mettre en évidence une infinité de termes de la série $\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}$ minorés par le même nombre strictement positif ${\frac {1}{AC}}$, ceci entre en contradiction avec la convergence absolue de cette série vers $\mathrm {e} ^{A}$, l'hypothèse $\mathrm {e}$ algébrique, qui avait autorisé les deux expressions de $f_{P}(Q)$ ci-dessus, est donc fausse.