Introduction aux mathématiques/Rudiments de logique
Assertions
modifierOn appelle assertion (ou proposition) toute phrase à laquelle on peut attribuer une valeur de vérité : ou bien vrai ou bien faux. Il s'agit d'une logique binaire obéissant à la règle du tiers exclu.
Exemples :
- « » est une assertion vraie ;
- « » est une assertion fausse ;
- « » n’est pas une assertion.
Le but est de montrer que certaines assertions, des plus simples aux plus ardues, sont vraies ou fausses. Pour élaborer de nouvelles assertions à partir d'un petit jeu de base, qu'on appelle axiomes, on utilise [quasiment exclusivement non ?] les connecteurs logiques et les quantificateurs.
Connecteurs logiques
modifierIci et désignent des assertions. On en construit de nouvelles grâce aux connecteurs logiques suivants. On présente le résultat de la nouvelle assertion, en fonction des valeurs de vérité de et dans une table de vérité :
Négation
modifierOn note non P ou ¬P, la négation de :
P | non P (¬P) |
---|---|
Vrai | Faux |
Faux | Vrai |
Conjonction
modifierL'assertion « P et Q » (aussi notée « P ∧ Q ») est vraie si et seulement si P et Q sont toutes deux vraies :
P | Q | P ∧ Q |
---|---|---|
Faux | Faux | Faux |
Faux | Vrai | Faux |
Vrai | Faux | Faux |
Vrai | Vrai | Vrai |
On appelle cette assertion la conjonction de P et de Q.
Disjonction
modifierOn appelle disjonction de P et Q l'assertion « P ou Q » (aussi notée « P ∨ Q ». Elle est vraie si et seulement si au moins l'une des deux assertions P et Q est vraie. Il s'agit d'un « ou » inclusif :
P | Q | P ∨ Q |
---|---|---|
Faux | Faux | Faux |
Faux | Vrai | Vrai |
Vrai | Faux | Vrai |
Vrai | Vrai | Vrai |
Implication
modifierOn appelle implication de Q par P l'assertion « » qui n'est autre que « non P ou Q » :
P | Q | non P | |
---|---|---|---|
Vrai | Vrai | Faux | Vrai |
Vrai | Faux | Faux | Faux |
Faux | Vrai | Vrai | Vrai |
Faux | Faux | Vrai | Vrai |
Remarques :
- Si P et « » sont vraies, alors Q est vrai. Par contre, en écrivant que « » est vraie, on ne se prononce pas sur la valeur de vérité de P ni de Q.
- Si « » est vraie, on dit que P est une condition suffisante de Q et que Q est une condition nécessaire de P.
Équivalence
modifierOn appelle équivalence de P et Q l'assertion, notée « » — qui n'est autre que « ( ».
est vraie si et seulement si P et Q ont même valeur de vérité. Dans ce cas on dit que P (resp : Q) est une condition nécessaire et suffisante de Q (resp : P) :
P | Q | |||
---|---|---|---|---|
Vrai | Vrai | Vrai | Vrai | Vrai |
Vrai | Faux | Faux | Vrai | Faux |
Faux | Vrai | Vrai | Faux | Faux |
Faux | Faux | Vrai | Vrai | Vrai |
Quelques résultats usuels
modifierIci P, Q et R désignent des assertions quelconques. Les résultats suivants sont valables :
- (c'est la contraposition ou modus tollens.)