Introduction aux mathématiques/Notion d'ensemble

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Notion d'ensemble
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Chapitre no 2
Leçon : Introduction aux mathématiques
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DéfinitionsModifier

Ensemble, élémentModifier

C'est une notion à la fois difficile à définir très proprement et à la fois très intuitive : on se contentera de l'intuition. Un ensemble est donc une « collection » d'objets qu'on appelle ses éléments. On note   pour signifier que l'élément   appartient à l’ensemble  , et   pour dire le contraire.

PartieModifier

Soient   et   deux ensembles. On dit que   est inclus dans (ou est une partie de, ou encore est un sous-ensemble de)  , et on note  , si et seulement si  .

On note   l’ensemble des parties de  . Ainsi  .

Deux ensembles   et   sont égaux et on écrit   si et seulement si   et  , c'est-à-dire s’ils ont exactement les mêmes éléments.

Enfin, on note   pour signifier   et  .

PrédicatModifier

Soit   un ensemble. On appelle prédicat sur   la donnée, pour chaque élément   de  , d'une assertion  .

Exemple :

  • Pour tout   réel, on définit   par :  . C'est un prédicat sur  , vrai pour 2 et faux pour 0.

Définition d'un ensemble en compréhensionModifier

On a le droit de définir l’ensemble des éléments d'un ensemble   vérifiant un prédicat  , on le note  . On parle de définition en compréhension. Il est crucial de préciser l’ensemble d'origine des éléments  . Sinon on pourrait considérer l’ensemble   : a-t-on   ?

Ensemble videModifier

Il existe un ensemble qui ne contient aucun élément : en effet on considère un ensemble   quelconque et l’ensemble  . De plus   appartient à tous les ensembles. Un tel autre ensemble   vérifierait alors   et  , d'où l'égalité. On parle alors de l'ensemble vide.

Remarque : On a   qui est donc non vide.

Définition d'un ensemble en extensionModifier

Un ensemble peut être défini en extension, c'est-à-dire en donnant la liste de ses éléments entre accolades. Par exemple   représente l’ensemble dont les éléments sont  ,   et  .

PaireModifier

Étant donnés deux objets   et  , on peut définir l’ensemble les contenant exactement : il s'agit de la paire  .

CoupleModifier

Pour que l’ordre des éléments ait une importance, on définit le couple   par  . On peut vérifier la proposition suivante :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Produit cartésienModifier

On appelle alors produit cartésien de deux ensembles   et  , l’ensemble des couples  . On le note  , lire « E croix F ». Ceci s'étend pour définir des triplets  ; des quadruplets  ; des  -uplets  .

Opérations sur les ensemblesModifier

Différence, complémentaireModifier


En particulier on définit pour une partie A d'un ensemble E son complémentaire dans E, noté   ou   s'il n’est pas nécessaire de préciser E.

Exercice : Que dire de   ;  ;  , pour   ?

Intersection, réunionModifier



Exercice
  • Que dire de   ?
  • Que dire de de   pour   ?
  • Faire le lien entre connecteurs logiques/quantificateurs et différence/réunion/intersection. On en déduit facilement les propriétés suivantes :
Début d’un théorème
Fin du théorème


Différence symétriqueModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

Exercice :

  1. Montrer que la différence symétrique est commutative et associative.
  2. Que dire de  ; de   ?
  3. Montrer que   est distributive sur  .

QuantificateursModifier

Quantificateur existentielModifier

  • On écrit   pour signifier qu’il existe au moins un x élément de E tel que P(x) soit vrai.
  • On écrit   pour signifier qu’il existe un unique x élément de E tel que P(x) soit vrai.

Quantificateur universelModifier

  • On écrit   pour signifier que pour tous les éléments x de E, P(x) est vrai.

Négations des quantificationsModifier

On a :

  •  
  •