Introduction aux mathématiques/Notion d'ensemble
Définitions modifier
Ensemble, élément modifier
C'est une notion à la fois difficile à définir très proprement et à la fois très intuitive : on se contentera de l'intuition. Un ensemble est donc une « collection » d'objets qu'on appelle ses éléments. On note pour signifier que l'élément appartient à l’ensemble , et pour dire le contraire.
Partie modifier
Soient et deux ensembles. On dit que est inclus dans (ou est une partie de, ou encore est un sous-ensemble de) , et on note , si et seulement si .
On note l’ensemble des parties de . Ainsi .
Deux ensembles et sont égaux et on écrit si et seulement si et , c'est-à-dire s’ils ont exactement les mêmes éléments.
Enfin, on note pour signifier et .
Prédicat modifier
Soit un ensemble. On appelle prédicat sur la donnée, pour chaque élément de , d'une assertion .
Exemple :
- Pour tout réel, on définit par : . C'est un prédicat sur , vrai pour 2 et faux pour 0.
Définition d'un ensemble en compréhension modifier
On a le droit de définir l’ensemble des éléments d'un ensemble vérifiant un prédicat , on le note . On parle de définition en compréhension. Il est crucial de préciser l’ensemble d'origine des éléments . Sinon on pourrait considérer l’ensemble : a-t-on ?
Ensemble vide modifier
Il existe un ensemble qui ne contient aucun élément : en effet on considère un ensemble quelconque et l’ensemble . De plus appartient à tous les ensembles. Un tel autre ensemble vérifierait alors et , d'où l'égalité. On parle alors de l'ensemble vide.
Remarque : On a qui est donc non vide.
Définition d'un ensemble en extension modifier
Un ensemble peut être défini en extension, c'est-à-dire en donnant la liste de ses éléments entre accolades. Par exemple représente l’ensemble dont les éléments sont , et .
Paire modifier
Étant donnés deux objets et , on peut définir l’ensemble les contenant exactement : il s'agit de la paire .
Couple modifier
Pour que l’ordre des éléments ait une importance, on définit le couple par . On peut vérifier la proposition suivante :
- est triviale.
- : , montrons que et .
- Si alors et comme , on obtient aussi .
- Sinon , mais alors et . Par suite et donc qui est absurde ici.
Produit cartésien modifier
On appelle alors produit cartésien de deux ensembles et , l’ensemble des couples . On le note , lire « E croix F ». Ceci s'étend pour définir des triplets ; des quadruplets ; des -uplets .
Opérations sur les ensembles modifier
Différence, complémentaire modifier
On appelle différence A et B dans cet ordre, pour deux parties d'un ensemble E, l’ensemble noté .
En particulier on définit pour une partie A d'un ensemble E son complémentaire dans E, noté ou s'il n’est pas nécessaire de préciser E.
Exercice : Que dire de ; ; , pour ?
Intersection, réunion modifier
On appelle intersection de deux ensembles A et B l’ensemble , lire « A inter B ».
- Exercice
-
- Que dire de ?
- Que dire de de pour ?
- Faire le lien entre connecteurs logiques/quantificateurs et différence/réunion/intersection. On en déduit facilement les propriétés suivantes :
Soient A, B et C trois parties d'un ensemble E. On a alors les propriétés suivantes :
- commutativité : et ;
- associativité : et ;
- distributivité de sur : ;
- distributivité de sur : ;
- lois de De Morgan : et .
Différence symétrique modifier
Soient A et B deux parties d'un ensemble E.
Alors = .
On appelle différence symétrique de A et B cet ensemble qu'on note , il est formé des éléments qui sont ou bien dans A ou bien dans B.
Exercice :
- Montrer que la différence symétrique est commutative et associative.
- Que dire de ; de ?
- Montrer que est distributive sur .
Quantificateurs modifier
Quantificateur existentiel modifier
- On écrit pour signifier qu’il existe au moins un x élément de E tel que P(x) soit vrai.
- On écrit pour signifier qu’il existe un unique x élément de E tel que P(x) soit vrai.
Quantificateur universel modifier
- On écrit pour signifier que pour tous les éléments x de E, P(x) est vrai.
Négations des quantifications modifier
On a :
