Introduction aux suites numériques/Définitions

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Introduction

Une suite numérique est une liste de nombres mis en ordre. Cette liste est infinie, comme l’ensemble des nombres entiers naturels $\mathbb {N}$.

Exemple :

1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ... est la suite des nombres entiers strictement positifs.

Chaque nombre est un terme de la suite.

• Écrire les 6 premiers termes de la suite des nombres entiers positifs impairs.
• Écrire les huit premiers termes de la suite des puissances de 2 de premier terme $2^{0}=1$.

Les suites sont le plus souvent notées avec des lettres majuscules : $U,V,W,...$

Chaque terme de la suite possède un numéro d'ordre. Le début de la numérotation des termes est, en général, 0.

On inscrit le numéro du terme en indice de la lettre majuscule.

Par exemple, le premier terme d'une suite U est noté $U_{0}$, le deuxième $U_{1}$, ...

Exemple : Notons $U$ la suite des nombres entiers impairs.

• Donner $U_{0}$, $U_{1}$, $U_{2}$.
  • $U_{0}=1$ car premier terme de la suite
  • $U_{1}=3$ car deuxième terme de la suite
  • $U_{2}=5$ car troisième terme de la suite
• Ainsi $U_{7}=15$ est le 8ème terme de la suite $U$.

On appelle terme général de la suite $U$ le nombre $U_{n}$ avec $n$ indéterminé.

• $U_{n}$ est le (n+1) nième terme de la suite si celle-ci commence à $U_{0}$.

On peut ainsi définir une suite par son terme général, par exemple :

Soit la suite U définie par son terme général :

$U_{n}=n^{2}$ pour $n$ entier naturel.

• Calculer $U_{7}$.
  • $U_{7}=49$
• Calculer le onzième terme de cette suite.
  • $U_{10}=100$

On note souvent une suite $U$ avec la notation $(U_{n})$.

Les parenthèses sont importantes, elles signifient que l’on n'a pas affaire au terme général, mais à la suite elle-même.

On aboutit donc au genre d'énoncé suivant :

Soit $(U_{n})$ la suite définie par : $U_{n}=2^{n}$

• Calculer $U_{10}$
  • $U_{10}=1024$
• Pour quelle valeur de $n$ a-t-on $U_{n}>1000$
  • Le terme $U_{n}>1000$ pour $n=10$
• Que dire du sens de variation de cette suite ?
  • La suite est strictement croissante lorsque la valeur de $n$ augmente.
• Que dire de sa vitesse de variation ?
  • Sa vitesse de variation augmente lorsque la valeur de $n$ augmente (accélération de l'accroissement de la suite).

Suites et fonctions

À ce niveau, le lecteur est maintenant familier avec la notion de fonction. En quelques mots, une fonction est un objet mathématique qui, à tout nombre x d'un ensemble de définition ${\mathcal {D}}$, associe son image $f(x)$.

On note alors : ${\begin{array}{ccccc}f&:&{\mathcal {D}}&\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&x&\mapsto &f(x)\end{array}}$

Définition

Une suite réelle est un objet mathématique qui, à tout nombre entier naturel $n$, associe un nombre réel.

On peut donc, en première approche, regarder une suite comme une sorte de « fonction » qui ne serait définie que sur les nombres entiers naturels.

Terminologie

Début d’un principe

Écriture d'une suite

Soit u une suite réelle.

• Cette suite peut se noter :
  • u tout court, comme on dirait d'une fonction ƒ
  • $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, ou plus simplement $(u_{n})$

Dans cette dernière écriture, les parenthèses sont importantes !

Fin du principe

On remarque que la notation utilisée pour les suites est différente de celle utilisée pour les fonctions :

• Pour les fonctions, on utilise une notation avec des parenthèses : $f(x)$ qui se lit «ƒ de x»
• Pour les suites, on met le n en indice après le u : $u_{n}$ et on lit «u indice n», ou encore «u n»

Termes d'une suite

Soient $(u_{n})$ une suite réelle et $n\in \mathbb {N}$.

Le réel $u_{n}$ est appelé terme d'indice n ou terme de rang n de la suite $(u_{n})$.

Si on devait écrire la suite sous la même forme que la fonction présentée au premier paragraphe, on écrirait :

${\begin{array}{ccccc}(u_{n})&:&\mathbb {N} &\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&n&\mapsto &u_{n}\end{array}}$

Nous éviterons cependant cette notation qui s'avèrera en réalité peu adaptée pour les suites, comme nous allons le voir dans ce cours.

Les termes des suites étant définis sur des entiers naturels, le premier terme a pour indice 0 et pas 1. Il faut prendre garde à ne pas se tromper dans certaines applications.

Méthodes de génération d'une suite réelle

Par formule explicite

On peut définir une suite par une formule explicite, c'est-à-dire qu’il suffit, comme pour les fonctions, de faire le calcul de la valeur du terme avec n donné.

Début de l'exemple

Suite définie par sa formule explicite

Soit $(u_{n})$ la suite définie par : $u_{n}=2n+1\quad \forall n\in \mathbb {N}$.

$u_{0}=1$

$u_{1}=3$

$u_{8}=17$

Fin de l'exemple

Quel est donc l’intérêt d'introduire ce nouvel objet s'il fait moins bien qu'une fonction (puisqu’il n'est possible de définir une suite que sur les nombres entiers) ?

Par récurrence

L'intérêt des suites est de pouvoir les définir sous une forme explicite (pour tout $n\in \mathbb {N} ,~u_{n}=2n^{2}+1$) et aussi par récurrence.

La meilleure façon d'appréhender la récurrence est de l'appliquer sur un exemple.

Début de l'exemple

Qu'est-ce qu'une suite récurrente ?

Observez la suite de nombres suivante : $0~,~2~,~4~,~6~,~8~,~10~,~\cdots$

Combien vaut l'élément suivant ?

Fin de l'exemple

Il suffit de savoir compter pour comprendre que le terme suivant est 12.

Pour trouver ce résultat, vous avez pensé « pour avoir un terme, il suffit d'ajouter 2 au terme précédent ».

Écrivons ce raisonnement avec le formalisme des suites réelles.

Soit $(u_{n})$ une suite réelle dont les premiers termes sont :

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}n&0&1&2&3&4&5\\\hline u_{n}&0&2&4&6&8&10\\\end{array}}\cdots$

On a :

${\begin{cases}u_{1}=u_{0}+2\\u_{2}=u_{1}+2\\u_{3}=u_{2}+2\\\cdots \end{cases}}$

Si on écrit la formule dans le cas général, cette suite $(u_{n})$ est définie par :

• la formule de récurrence $u_{n+1}=u_{n}+2$
• le premier terme $u_{0}=0$

Suite récurrente

Une suite définie par une relation liant $u_{n+1}$ et $u_{n}$ ainsi qu'un premier terme $u_{0}$ s’appelle une suite récurrente.

Il est très important de ne pas oublier de donner la valeur du premier terme. En effet, pour obtenir la valeur de $u_{7}$ par exemple, il faut la valeur de $u_{6}$, pour laquelle on a besoin de $u_{5}$ et ainsi de suite jusqu'à $u_{0}$.

Ce principe de définition par récurrence est impossible à mettre en œuvre pour des fonctions d'une variable réelle puisque dans $\mathbb {R}$ on ne peut pas compter « par étapes ».

Synthèse

Début d’un principe

Génération d'une suite

On peut définir une suite de deux manières :

• Par formule explicite : $u_{n}=f(n)$
• Par récurrence : $u_{n+1}=f(u_{n})$

Fin du principe

Définition des suites

Tout comme les fonctions, les suites peuvent avoir des « valeurs interdites », c'est-à-dire des valeurs de rang pour lesquelles il est impossible de calculer le terme correspondant. Cependant, il y a une différence fondamentale avec les fonctions :

« Ensemble de définition » d'une suite

Il est possible qu'une suite soit définie à partir d'un certain rang, mais elle doit être définie pour tous les rangs suivants. L'ensemble de définition d'une suite est donc l'ensemble des rangs continus à partir duquel la suite est définie.

En d'autres termes, on ne peut définir une suite qu’à partir du rang supérieur à celui de la dernière valeur interdite. Il ne peut pas y avoir de « trou de définition » (discontinuité) dans une suite.

Début de l'exemple

Exemple n^o 1

Soit $(u_{n})$ la suite définie par : $u_{n}={\sqrt {n^{2}-4}}$

Cette expression n'est définie que pour $n\geq 2$, donc la suite est définie pour $n\geq 2$.

On ne note plus alors $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, puisque la suite n’est pas définie pour 0 et 1. On note $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} ,~n\geq 2}$.

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple n^o 2

Soit $(u_{n})$ la suite définie par : $u_{n}={\sqrt {n^{2}-4n+3}}={\sqrt {(n-1)(n-3)}}$

Cette expression est définie pour $n=0~,~n=1$, pas pour $n=2$, mais est définie à nouveau pour $n\geq 3$.

La suite est alors définie à partir du rang $n=3$ puisqu’il ne faut pas de discontinuité dans les définitions.

Si on étudiait la fonction $f:x\mapsto {\sqrt {x^{2}-4x+3}}={\sqrt {(x-1)(x-3)}}$, son domaine de définition serait simplement : ${\mathcal {D}}=]-\infty ;1]\cup [3;+\infty [$, soit $\mathbb {R}$ privé de toutes les valeurs interdites.

Fin de l'exemple

Définition des suites et fonctions

Travailler avec des nombres entiers naturels $n$ fait qu'une suite n'a pas les mêmes valeurs interdites qu'une fonction de même expression.

Par exemple, prenons la fonction $x\mapsto {\frac {1}{x-\pi }}$. Clairement, π est une valeur interdite pour cette fonction.

En revanche, si l’on considère la suite u définie par : $u_{n}={\frac {1}{n-\pi }}$, il n'y a pas de valeur interdite puisque $n-\pi$ ne s'annule jamais pour $n\in \mathbb {N}$.

Exercice d'application directe

1 Calculer :

Le terme d'indice 10 de la suite $(u_{n})$ définie par : $u_{n}=10n-5\quad \forall n\in \mathbb {N}$ :

Le terme d'indice 4 de la suite $(u_{n})$ définie par : $u_{n}={\sqrt {n^{2}+9}}\quad \forall n\in \mathbb {N}$ :

Le rang pour lequel la suite $(u_{n})$ définie par : $u_{n}=n^{2}-3\quad \forall n\in \mathbb {N}$ prend la valeur 22 :

2 Comment sont définies les suites suivantes ?

Formule explicite	Récurrence
		Pour tout $n\in \mathbb {N} ,~u_{n}=2n-1$
		Pour tout $n\in \mathbb {N} ,~u_{n+1}=2u_{n}-1$ et $u_{0}=1$
		Pour tout $n\in \mathbb {N} ,~u_{n+1}=2u_{n}-n+1$ et $u_{0}=\pi$
		Pour tout $n\in \mathbb {N} ,~u_{n}+1=2(n+1)$ et $u_{0}=1$

3 Calculer le rang à partir duquel les suites suivantes sont définies.

Suite à un bug encore non corrigé de l'extension Quiz, lorsque la réponse est 0 (zéro), entrer un O (lettre O majuscule) pour que la réponse soit reconnue par le système.

La suite $(u_{n})$ telle que $u_{n}=n+2$ est définie à partir du rang

La suite $(u_{n})$ telle que $u_{n}={\sqrt {n+2}}$ est définie à partir du rang

La suite $(u_{n})$ telle que $u_{n}={\sqrt {n-2}}$ est définie à partir du rang

La suite $(u_{n})$ telle que $u_{n}={\frac {1}{n-5}}$ est définie à partir du rang

La suite $(u_{n})$ telle que $u_{n}={\frac {1}{n-4,5}}$ est définie à partir du rang

La suite $(u_{n})$ telle que $u_{n}={\frac {\sqrt {n-1}}{n-2}}$ est définie à partir du rang

Sens de variation d'une suite

Soit $(u_{n})$ une suite réelle.

Définition

• $(u_{n})$ est croissante lorsque pour tout $n\in \mathbb {N}$, $u_{n+1}\geq u_{n}$
• $(u_{n})$ est décroissante lorsque pour tout $n\in \mathbb {N}$, $u_{n+1}\leq u_{n}$
• $(u_{n})$ est constante si elle n'est ni croissante, ni décroissante (cas unique lorsque $u_{n+1}=u_{n}\quad \forall n\in \mathbb {N}$)
• Une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante.
• La suite $(u_{n})$ est strictement croissante ou strictement décroissante ou strictement monotone si l'inégalité est stricte.

Remarque technique

En pratique, pour démontrer le sens de variation d'une suite, on peut utiliser deux méthodes :

• Étudier, lorsqu’il existe, le signe de $u_{n+1}-u_{n}$
• Comparer le nombre ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}$ à la valeur 1

Début de l'exemple

Exemple

• La suite définie par : $u_{n}=n^{2}\quad \forall n\in \mathbb {N}$ est croissante.
• La suite définie par : $u_{n}={\frac {1}{n}}\quad \forall n\in \mathbb {N} ^{*}$ est décroissante.

Fin de l'exemple