Introduction aux suites numériques/Définitions
Introduction
modifierUne suite numérique est une liste de nombres mis en ordre. Cette liste est infinie, comme l’ensemble des nombres entiers naturels .
Exemple :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ... est la suite des nombres entiers strictement positifs.
Chaque nombre est un terme de la suite.
- Écrire les 6 premiers termes de la suite des nombres entiers positifs impairs.
- Écrire les huit premiers termes de la suite des puissances de 2 de premier terme .
Les suites sont le plus souvent notées avec des lettres majuscules :
Chaque terme de la suite possède un numéro d'ordre. Le début de la numérotation des termes est, en général, 0.
On inscrit le numéro du terme en indice de la lettre majuscule.
Par exemple, le premier terme d'une suite U est noté , le deuxième , ...
Exemple : Notons la suite des nombres entiers impairs.
- Donner , , .
- car premier terme de la suite
- car deuxième terme de la suite
- car troisième terme de la suite
- Ainsi est le 8ème terme de la suite .
On appelle terme général de la suite le nombre avec indéterminé.
- est le (n+1) nième terme de la suite si celle-ci commence à .
On peut ainsi définir une suite par son terme général, par exemple :
Soit la suite U définie par son terme général :
pour entier naturel.
- Calculer .
- Calculer le onzième terme de cette suite.
On note souvent une suite avec la notation .
Les parenthèses sont importantes, elles signifient que l’on n'a pas affaire au terme général, mais à la suite elle-même.
On aboutit donc au genre d'énoncé suivant :
Soit la suite définie par :
- Calculer
- Pour quelle valeur de a-t-on
- Le terme pour
- Que dire du sens de variation de cette suite ?
- La suite est strictement croissante lorsque la valeur de augmente.
- Que dire de sa vitesse de variation ?
- Sa vitesse de variation augmente lorsque la valeur de augmente (accélération de l'accroissement de la suite).
Suites et fonctions
modifierÀ ce niveau, le lecteur est maintenant familier avec la notion de fonction. En quelques mots, une fonction est un objet mathématique qui, à tout nombre x d'un ensemble de définition , associe son image .
On note alors :
On peut donc, en première approche, regarder une suite comme une sorte de « fonction » qui ne serait définie que sur les nombres entiers naturels.
Terminologie
modifier- Cette suite peut se noter :
- u tout court, comme on dirait d'une fonction ƒ
- , ou plus simplement
Dans cette dernière écriture, les parenthèses sont importantes ! |
On remarque que la notation utilisée pour les suites est différente de celle utilisée pour les fonctions :
- Pour les fonctions, on utilise une notation avec des parenthèses : qui se lit «ƒ de x»
- Pour les suites, on met le n en indice après le u : et on lit «u indice n», ou encore «u n»
Si on devait écrire la suite sous la même forme que la fonction présentée au premier paragraphe, on écrirait :
Nous éviterons cependant cette notation qui s'avèrera en réalité peu adaptée pour les suites, comme nous allons le voir dans ce cours.
Les termes des suites étant définis sur des entiers naturels, le premier terme a pour indice 0 et pas 1. Il faut prendre garde à ne pas se tromper dans certaines applications. |
Méthodes de génération d'une suite réelle
modifierPar formule explicite
modifierOn peut définir une suite par une formule explicite, c'est-à-dire qu’il suffit, comme pour les fonctions, de faire le calcul de la valeur du terme avec n donné.
Quel est donc l’intérêt d'introduire ce nouvel objet s'il fait moins bien qu'une fonction (puisqu’il n'est possible de définir une suite que sur les nombres entiers) ?
Par récurrence
modifierL'intérêt des suites est de pouvoir les définir sous une forme explicite (pour tout ) et aussi par récurrence.
La meilleure façon d'appréhender la récurrence est de l'appliquer sur un exemple.
Combien vaut l'élément suivant ?
Il suffit de savoir compter pour comprendre que le terme suivant est 12.
Pour trouver ce résultat, vous avez pensé « pour avoir un terme, il suffit d'ajouter 2 au terme précédent ».
Écrivons ce raisonnement avec le formalisme des suites réelles.
Soit une suite réelle dont les premiers termes sont :
- On a :
- Si on écrit la formule dans le cas général, cette suite est définie par :
- la formule de récurrence
- le premier terme
Il est très important de ne pas oublier de donner la valeur du premier terme. En effet, pour obtenir la valeur de par exemple, il faut la valeur de , pour laquelle on a besoin de et ainsi de suite jusqu'à . |
Ce principe de définition par récurrence est impossible à mettre en œuvre pour des fonctions d'une variable réelle puisque dans on ne peut pas compter « par étapes ».
Synthèse
modifier- Par formule explicite :
- Par récurrence :
Définition des suites
modifierTout comme les fonctions, les suites peuvent avoir des « valeurs interdites », c'est-à-dire des valeurs de rang pour lesquelles il est impossible de calculer le terme correspondant. Cependant, il y a une différence fondamentale avec les fonctions :
En d'autres termes, on ne peut définir une suite qu’à partir du rang supérieur à celui de la dernière valeur interdite. Il ne peut pas y avoir de « trou de définition » (discontinuité) dans une suite.
Cette expression n'est définie que pour , donc la suite est définie pour .
On ne note plus alors , puisque la suite n’est pas définie pour 0 et 1. On note .
Cette expression est définie pour , pas pour , mais est définie à nouveau pour .
La suite est alors définie à partir du rang puisqu’il ne faut pas de discontinuité dans les définitions.
Si on étudiait la fonction , son domaine de définition serait simplement :
, soit privé de toutes les valeurs interdites.
Par exemple, prenons la fonction . Clairement, π est une valeur interdite pour cette fonction.
En revanche, si l’on considère la suite u définie par : , il n'y a pas de valeur interdite puisque ne s'annule jamais pour .
Exercice d'application directe
modifier
Sens de variation d'une suite
modifierSoit une suite réelle.
- est décroissante lorsque pour tout ,
- est constante si elle n'est ni croissante, ni décroissante (cas unique lorsque )
- Une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante.
- La suite est strictement croissante ou strictement décroissante ou strictement monotone si l'inégalité est stricte.
- Étudier, lorsqu’il existe, le signe de
- Comparer le nombre à la valeur 1