Introduction aux suites numériques/Définitions

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Chapitre no 1
Leçon : Introduction aux suites numériques
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Chap. suiv. :Suites arithmétiques
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Introduction aux suites numériques/Définitions
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IntroductionModifier

Une suite numérique est une liste de nombres mis en ordre. Cette liste est infinie, comme l’ensemble des nombres entiers naturels  .

Exemple :

1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ... est la suite des nombres entiers strictement positifs.

Chaque nombre est un terme de la suite.

  • Écrire les 6 premiers termes de la suite des nombres entiers positifs impairs.
  • Écrire les huit premiers termes de la suite des puissances de 2 de premier terme  .

Les suites sont le plus souvent notées avec des lettres majuscules :  

Chaque terme de la suite possède un numéro d'ordre. Le début de la numérotation des termes est, en général, 0.

On inscrit le numéro du terme en indice de la lettre majuscule.

Par exemple, le premier terme d'une suite U est noté  , le deuxième  , ...

Exemple : Notons   la suite des nombres entiers impairs.

  • Donner  ,  ,  .
    •   car premier terme de la suite
    •   car deuxième terme de la suite
    •   car troisième terme de la suite
  • Ainsi   est le 8ème terme de la suite  .

On appelle terme général de la suite   le nombre   avec   indéterminé.

  •   est le (n+1) nième terme de la suite si celle-ci commence à  .

On peut ainsi définir une suite par son terme général, par exemple :

Soit la suite U définie par son terme général :

  pour   entier naturel.

  • Calculer  .
    •  
  • Calculer le onzième terme de cette suite.
    •  


On note souvent une suite   avec la notation  .

Les parenthèses sont importantes, elles signifient que l’on n'a pas affaire au terme général, mais à la suite elle-même.

On aboutit donc au genre d'énoncé suivant :

Soit   la suite définie par :  

  • Calculer  
    •  
  • Pour quelle valeur de   a-t-on  
    • Le terme   pour  
  • Que dire du sens de variation de cette suite ?
    • La suite est strictement croissante lorsque la valeur de   augmente.
  • Que dire de sa vitesse de variation ?
    • Sa vitesse de variation augmente lorsque la valeur de   augmente (accélération de l'accroissement de la suite).

Suites et fonctionsModifier

À ce niveau, le lecteur est maintenant familier avec la notion de fonction. En quelques mots, une fonction est un objet mathématique qui, à tout nombre x d'un ensemble de définition  , associe son image  .

On note alors :  


On peut donc, en première approche, regarder une suite comme une sorte de « fonction » qui ne serait définie que sur les nombres entiers naturels.

TerminologieModifier

Début d’un principe
Fin du principe


On remarque que la notation utilisée pour les suites est différente de celle utilisée pour les fonctions :

  • Pour les fonctions, on utilise une notation avec des parenthèses :   qui se lit «ƒ de x»
  • Pour les suites, on met le n en indice après le u :   et on lit «u indice n», ou encore «u n»


Si on devait écrire la suite sous la même forme que la fonction présentée au premier paragraphe, on écrirait :

 

Nous éviterons cependant cette notation qui s'avèrera en réalité peu adaptée pour les suites, comme nous allons le voir dans ce cours.

  Les termes des suites étant définis sur des entiers naturels, le premier terme a pour indice 0 et pas 1. Il faut prendre garde à ne pas se tromper dans certaines applications.

Méthodes de génération d'une suite réelleModifier

Par formule expliciteModifier

On peut définir une suite par une formule explicite, c'est-à-dire qu’il suffit, comme pour les fonctions, de faire le calcul de la valeur du terme avec n donné.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Quel est donc l’intérêt d'introduire ce nouvel objet s'il fait moins bien qu'une fonction (puisqu’il n'est possible de définir une suite que sur les nombres entiers) ?

Par récurrenceModifier

L'intérêt des suites est de pouvoir les définir sous une forme explicite (pour tout  ) et aussi par récurrence.

La meilleure façon d'appréhender la récurrence est de l'appliquer sur un exemple.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Il suffit de savoir compter pour comprendre que le terme suivant est 12.

Pour trouver ce résultat, vous avez pensé « pour avoir un terme, il suffit d'ajouter 2 au terme précédent ».

Écrivons ce raisonnement avec le formalisme des suites réelles.

Soit   une suite réelle dont les premiers termes sont :

 

On a :

 

Si on écrit la formule dans le cas général, cette suite   est définie par :
  • la formule de récurrence  
  • le premier terme  


  Il est très important de ne pas oublier de donner la valeur du premier terme. En effet, pour obtenir la valeur de   par exemple, il faut la valeur de  , pour laquelle on a besoin de   et ainsi de suite jusqu'à  .

Ce principe de définition par récurrence est impossible à mettre en œuvre pour des fonctions d'une variable réelle puisque dans   on ne peut pas compter « par étapes ».

SynthèseModifier

Début d’un principe
Fin du principe


Définition des suitesModifier

Tout comme les fonctions, les suites peuvent avoir des « valeurs interdites », c'est-à-dire des valeurs de rang pour lesquelles il est impossible de calculer le terme correspondant. Cependant, il y a une différence fondamentale avec les fonctions :

En d'autres termes, on ne peut définir une suite qu’à partir du rang supérieur à celui de la dernière valeur interdite. Il ne peut pas y avoir de « trou de définition » (discontinuité) dans une suite.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple



Exercice d'application directeModifier

1 Calculer :

Le terme d'indice 10 de la suite   définie par :   :

Le terme d'indice 4 de la suite   définie par :   :

Le rang pour lequel la suite   définie par :   prend la valeur 22 :

2 Comment sont définies les suites suivantes ?

Formule explicite Récurrence
Pour tout  
Pour tout   et  
Pour tout   et  
Pour tout   et  

3 Calculer le rang à partir duquel les suites suivantes sont définies.

Suite à un bug encore non corrigé de l'extension Quiz, lorsque la réponse est 0 (zéro), entrer un O (lettre O majuscule) pour que la réponse soit reconnue par le système.
La suite   telle que   est définie à partir du rang

La suite   telle que   est définie à partir du rang

La suite   telle que   est définie à partir du rang

La suite   telle que   est définie à partir du rang

La suite   telle que   est définie à partir du rang

La suite   telle que   est définie à partir du rang


Sens de variation d'une suiteModifier

Soit   une suite réelle.



Début de l'exemple
Fin de l'exemple