Introduction aux transferts thermiques/Concepts généraux

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La science des transferts thermiques est une approche phénoménologique des échanges de chaleur au sens thermodynamique du terme. Elle est en lien direct avec la thermodynamique, et se rapproche notamment de la mécanique des fluides et de l’électromagnétisme.

Chaleur

La chaleur, est une notion non intuitive. Le terme chaleur est hérité des fondateurs de la thermodynamique. Il présente l'inconvénient d'introduire un risque de confusion avec la notion de température. Aussi, la chaleur est avantageusement nommée transfert thermique. Les expressions « transfert de chaleur » ou « transfert de chaleur » sont des pléonasmes très répandus.

On définira la chaleur par ce qu'elle n’est pas :

Définition

La chaleur est un échange d'énergie interne qui n’est pas sous la forme d'un travail mécanique.

Hypothèses

De même que pour un problème thermodynamique, il convient avant toute considération sur les transferts thermiques de définir le système sur lequel on travaille. Le système est considéré sous l'hypothèse des milieux continus, ou échelle mésoscopique : on se limite à des volumes élémentaires arbitrairement petits du point de vue macroscopique, mais suffisamment grands à l'échelle moléculaire. Sous cette hypothèse, les grandeurs physiques sont définies de façon moyenne sur un volume élémentaire $\mathrm {d} V$.
​Par ailleurs, sauf mention contraire, on supposera dans toutes les leçons de ce département que les transferts thermiques se font sous l'hypothèse de l'équilibre thermodynamique local (ETL), qui est un « déséquilibre thermodynamique faible » : l'état du système considéré est à tout instant infiniment proche d'un état d'équilibre. Ainsi, les variables physiques dont la température peuvent être définies en tout point.

Premier principe de la thermodynamique

Dans un premier temps, considérons un système matériel fermé qui reçoit la chaleur $\delta Q$ et le travail $\delta W$ pendant la durée $\mathrm {d} t$. Le premier principe de la thermodynamique énonce que la variation élémentaire de l'énergie interne du système est, en l'absence de source d'énergie dans le système :

$\mathrm {d} U=\delta Q+\delta W$.

Si on considère que le travail des forces de pression est le seul travail échangé par le système avec l'extérieur :

$\delta W=-P\,\mathrm {d} V\Rightarrow \mathrm {d} U=\delta Q-P\,\mathrm {d} V$.

Selon la définition de l'enthalpie :

$\mathrm {d} H=\mathrm {d} U+P\mathrm {d} V+V\mathrm {d} P\Rightarrow \mathrm {d} H=\delta Q+V\,\mathrm {d} P$.

Pour un système soumis à un processus effectué à pression constante, la relation suivante

${\rm {d}}H=m\,c_{p}\,{\rm {d}}T={\delta }Q$,

où $\rho$ la mase volumique et $c_{p}$ la capacité thermique massique à pression constante.

De façon similaire pour un système soumis à un processus à volume constant :

${\rm {d}}U=m\,c_{V}\,{\rm {d}}T={\delta }Q$.

Flux thermique

Le terme de droite $\Phi ={\frac {{\delta }Q}{{\rm {d}}t}}={\dot {Q}}$ exprime la puissance échangée par le système avec l'extérieur sous forme de chaleur : il est nommé flux thermique ou flux de chaleur.

Densité de flux de chaleur

Vecteur densité de flux de chaleur

Le vecteur densité de flux thermique ou vecteur densité de flux de chaleur ${\vec {\varphi }}$ est le flux d'énergie thermique transféré localement par unité de surface.

Définition

On définit un champ vectoriel ${\vec {\varphi }}$ appelé vecteur densité de flux de chaleur, tel que l’on ait pour tout système : ${\frac {{\delta }Q}{{\rm {d}}t}}=\Phi =\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\Sigma }{\vec {\varphi }}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} \Sigma$, où $\Sigma$ désigne la surface externe du système, et ${\vec {n}}$ est la normale unitaire sortante à cette surface.

${\vec {\varphi }}$ représente la quantité et la direction dans laquelle l'énergie est transférée sous forme de chaleur en un point.

Densité de flux de chaleur scalaire

La plupart du temps, on ne s'intéresse au vecteur densité de flux de chaleur qu’à la frontière d'un système donné. Par conséquent, on dégrade souvent l'information correspondant en un champ scalaire densité de flux de chaleur ${\varphi }$, tel qu'en un point de la surface externe, on ait ${\varphi }={\vec {\varphi }}\cdot {\vec {n}}$. L'unité SI de ${\varphi }$ est le W m^-2.

Conservation de l'énergie

En gardant l'hypothèse de processus isobare, au niveau de chaque élément de volume, et si ${\dot {E}}_{\mathrm {gen} }$ est la puissance d'une source interne au système, la variation d'enthalpie du système peut s'écrire :

${\frac {{\rm {d}}H}{{\rm {d}}t}}={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\iiint _{V}{\rho }\,c_{p}\,T\,\mathrm {d} V+{\dot {E}}_{\mathrm {gen} }$.

De plus, le théorème de Green-Ostrogradski donne le résultat suivant :

$\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\Sigma }{\vec {\varphi }}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} \Sigma =\iiint _{V}\mathrm {div} \,{\vec {\varphi }}\,\mathrm {d} V$.

Si ${\dot {E}}_{\mathrm {gen} }=m\,{\dot {e}}_{\mathrm {gen} }$, où ${\dot {e}}_{\mathrm {gen} }$ est la puissance massique de la source :

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\rho }c_{p}T\right)=\mathrm {div} \,{\vec {\varphi }}+\rho \,{\dot {e}}_{\mathrm {gen} }$.