Logique (mathématiques)/Égalité

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Pourquoi des égalités ?

Les théories mathématiques consistent presque toujours à étudier des égalités, ou équations, ou identités. Au premier abord cela peut sembler curieux. À quoi bon savoir que deux êtres sont égaux ? Qu’est-ce que cela veut dire ?

Au sens le plus strict de l’égalité, chaque être est égal à lui-même et n’est pas égal à tous les autres. Cela semble assez évident mais à quoi bon le dire ? Dire que Pierre est égal à Pierre ne dit pas grand chose sur Pierre. Si les équations consistaient seulement à dire que chaque être est identique à lui-même, on ne comprend pas pourquoi tous les mystères de la matière devraient être livrés dans des équations fondamentales.

La diversité des noms

La plupart des équations mathématiques ne sont pas de la forme x = x mais x = y , où x et y sont deux noms différents du même être. Une équation consiste simplement à dire que deux mots différents nomment le même être. Pourquoi dire qu’il y a plusieurs façons de nommer la même chose peut-il avoir autant d’importance pour la science ?

Il semble au premier abord que lorsqu’on a appris plusieurs façons de dire la même chose on n’a pas appris beaucoup, on ne connait que des conventions. Mais ce jugement ne vaut que pour les mots simples, parce que leur signification est purement conventionnelle. Pour les mots composés les choses sont très différentes. La composition du mot peut révéler beaucoup sur la chose. Cette technique a été mise à profit par les chimistes, qui sont capables de reconstituer mentalement ou sur le papier une structure moléculaire simplement à partir de son nom. Une égalité entre deux mots composés dit bien qu’ils nomment la même chose, mais elle dit surtout que deux façons de construire conduisent au même résultat. Ce n’est pas toujours une vérité purement conventionnelle. Cela peut nous apprendre beaucoup sur la nature de la réalité.

Ainsi entendues, les équations vraies ne sont pas de pures tautologies. Elles pourraient être fausses si des procédés réels de construction ne conduisaient pas aux mêmes résultats.

La vérité expérimentale des équations

Raisonnons d’abord sur l’égalité des longueurs. Quel est le sens physique de ces égalités ?

Pour savoir si deux distances AB et CD sont égales, on peut repérer deux points E et F sur une règle solide, et s’assurer qu'EF peut être ajusté à la fois sur AB et sur CD . Il faut bien sûr que la règle soit solide. Un matériau mou ne convient pas.

Au sens géométrique, une règle est solide lorsque les distances entre ses points ne varient pas. Mais comment savoir que ces distances ne varient pas, qu’elles restent toujours égales à elles-mêmes ?

Pour savoir que deux distances sont égales, on se sert d’un corps solide. Mais pour savoir qu’un corps est solide il faut savoir que ses distances restent égales. Voilà qui ressemble à un cercle vicieux.

Les mesures de longueur fournissent des résultats cohérents lorsque la règle de transitivité est respectée : si les mesures établissent qu'AB et CD ont la même longueur, et que CD et EF ont aussi la même longueur, alors elles doivent établir qu'AB et EF ont la même longueur. Imaginons que parmi tous les corps supposés solides, les uns se dilatent, d’autres se contractent, et chacun selon son propre rythme. Alors les mesures de longueur ne seraient plus possibles, elles fourniraient des résultats incohérents. Cette hypothèse n’est pas purement imaginaire : les solides réels ne sont pas solides au sens géométrique. Leurs dimensions varient avec la température. Pour obtenir des mesures cohérentes, il faut expérimenter dans un milieu de température uniforme ou bien avec des matériaux peu sensibles aux variations de température.

Imaginons maintenant que tous les corps supposés solides soient en vérité dans un mouvement de perpétuelle expansion, tous au même rythme. Les mesures de longueur seraient toujours possibles, elles fourniraient des résultats cohérents et elles conduiraient à supposer qu’une distance sur un corps reste toujours égale à elle-même alors qu’elle ne cesse de grandir. Cela montre qu’on ne peut pas savoir en un sens absolu si une distance reste toujours égale à elle-même. Les vérités géométriques sont fondés expérimentalement sur des mesures qui établissent des relations entre les corps. C’est la cohérence entre toutes les mesures qui montrent la vérité des équations que l’on établit.

Toute la discussion sur l’égalité des longueurs pourrait être conduite sur l’égalité des durées, des masses, des températures et de n’importe quelle grandeur physique. La vérité des théories repose sur la cohérence des mesures.

Les axiomes généraux de l'égalité

• Tout être est identique à lui-même

Tout x est tel que x = x

C’est une pure tautologie.

• L’égalité est toujours symétrique.

Pour tous x et y, si x = y alors y = x

• L’égalité est transitive.

Pour tous x, y et z, si x = y et y = z alors x = z

Cette dernière règle permet d’enchainer les calculs.

• Si deux êtres sont égaux tout ce qui est vrai de l’un est également vrai de l’autre (Axiome de Leibniz).

Ce principe est traduit par un schéma d’axiomes.

Pour tout prédicat P(x, y1…, yn) qui contient x, y1…, yn comme variables libres, la formule suivante est un axiome.

Pour tous x, y, y1…, yn, si x = y et P(x, y1…, yn) alors P(y, y1…, yn)

Leibniz a proposé ce principe comme une définition de l’égalité. Mais il s’est exposé à l’objection suivante. « Deux êtres sont égaux lorsque tout ce qui est vrai de l’un est vrai de l’autre » peut être traduit par « deux êtres sont égaux lorsque les discours vrais qu’on tient sur eux sont égaux ». L’égalité apparaît dans les termes définissants et ne peut donc pas être définie ainsi. Il vaut probablement mieux regarder l’égalité comme une notion première, indéfinissable.

Les axiomes de symétrie et de transitivité sont des conséquences du principe de Leibniz.

Les équations et la rationalité du réel

L’importance des équations en physique fondamentale n’est pas un accident. Le réel peut être connu parce qu’il y a des égalités à la fois vraies et non purement tautologiques. S’il n’y avaient pas d’équations vraies qui déterminent le réel, celui-ci ne serait pas rationnel. Aucun esprit ne pourrait le comprendre. Autrement dit, l’égalité est le concept le plus fondamental de la raison. Les paragraphes suivants vont développer ce point.

Le principe d’individuation

Connaître consiste toujours à connaître un ou plusieurs êtres. On peut les appeler aussi des objets, des individus, des entités, des choses. On veut dire bien sûr qu’il s’agit d’objets de connaissance ou de choses à connaître mais pas forcément des choses à manipuler.

Le principe d’individuation consiste à dire que tout individu est différent de tous les autres. Leibniz illustrait ce principe en demandant d’aller chercher dans le jardin deux feuilles rigoureusement identiques. On trouve toujours de petites différences.

L’application du principe d’individuation pose des difficultés. La physique moderne des particules élémentaires et des atomes montre qu’en un sens toutes les particules élémentaires d’une même espèce sont rigoureusement identiques, indiscernables. Mais dans ce cas la notion d’individu perd son sens. Il en va de même pour les atomes et les petites molécules mais pas pour les grosses molécules, dès qu’elles sont capables d’avoir une histoire.

Savoir qu’un individu est différent de tous les autres est l’une des vérités les plus incontestables, au moins à propos des êtres humains. À bien des égards elle est aussi l’une des plus importantes. Mais elle ne suffit pas pour connaître un individu. Si on sait seulement cela de lui, on sait encore très peu, parce que justement on ne sait pas encore ce qui le distingue des autres. Tous les individus sont différents de tous les autres et en cela ils sont tous semblables.

Le holisme et les lois générales

Connaître un individu n’est jamais le connaître d’une façon isolée, abstraite, du monde dans lequel il est. Connaître c’est bien connaître des êtres, donc des individus, mais c’est les connaître tous ensemble. On ne veut pas connaître seulement tel ou tel morceau du tout mais on veut une compréhension globale. Tout le système, tout l’Univers doit pouvoir être compris. Telle est l’ambition du holisme.

Tout connaître peut sembler démesuré, hors de portée pour l’esprit fini d’un mortel, mais cela ne l’est pas. Un peu de réflexion suffit pour s’en convaincre et toutes les sciences le confirment. La possibilité d’énoncer des lois générales, de dire des vérités sur tous les êtres, ou sur tous les êtres d’un même genre, en une seule phrase, avec un nombre fini de mots, suffit pour prouver la capacité de la raison.

Les similitudes

Deux êtres du même genre sont semblables. Il s’agit bien d’une égalité mais ce n’est pas l’égalité des individus, qui sont deux, mais de leurs genres. On rassemble des êtres dans un même genre quand ce qu’on connaît sur les uns peut servir à connaître les autres. Ils obéissent aux mêmes lois. On peut donner un nombre fini de principes, une essence commune, qui permet de les connaître tous ensemble.

Deux êtres sont semblables quand une partie de ce qu’on connait de l’un peut être appliqué à l’autre.

Ce principe est au fondement de toutes les sciences pour de nombreuses raisons.

• Quand un chimiste étudie un échantillon de molécules, il suppose à juste titre que ses conclusions sont également valables pour tous les autres échantillons des mêmes molécules. Il en va de même pour tous les êtres dès qu’on leur attribue un genre.
• On rencontre partout des êtres semblables, des évènements semblables, des mouvements et des comportements semblables : rien de nouveau sous le Soleil. Il n’y a pas lieu de s'en lamenter parce que si tout était toujours nouveau nous serions désemparés pour le connaître.
• Une chose est dans un état permanent lorsqu’elle demeure semblable à elle-même. Connaissant son état présent, on en déduit son état passé et son état à venir.
• Quand on trouve une similitude pertinente, on peut faire un transfert de connaissances. Tout ce qu’on a appris sur un sujet peut servir à développer les connaissances sur un autre sujet.

L’obéissance aux lois

La vérité des lois manifeste une sorte d’égalité de la Nature avec elle-même. En tous temps, en tous lieux, tous les êtres obéissent aux mêmes lois, autant que nous le sachions. La Nature est toujours et partout semblable à elle-même. Connaissant l’Univers tel qu’il est ici et maintenant nous pouvons en déduire ce qu’il a été et ce qu’il sera ici et ailleurs. Cette remarquable uniformité de l’Univers peut sembler étonnante d’un point de vue strictement matérialiste. Pourquoi la matière est-elle aussi disciplinée ? Le désordre, le jamais vu, la transgression de toutes les lois physiques, ne sont pas logiquement exclues.

Au point de vue d’un être rationnel, l’égalité de la Nature avec elle-même est cependant une condition nécessaire. Si elle n’était pas en partie vraie, si notre Univers n’obéissait pas à au moins quelques lois, alors aucune science ne pourrait se développer. En fait aucun être vivant, rationnel ou non, ne pourrait exister. Mais l’uniformité de l’Univers est cruciale pour le développement du savoir. En plus des raisons déjà mentionnées sur l’importance des similitudes on peut donner les suivantes.

• Une expérience n’a de valeur scientifique que si elle est reproductible. Il faut que des personnes différentes puissent refaire la même expérience et obtenir les mêmes résultats, en des lieux différents, à des moments différents, avec un matériel différent.
• Pour développer les sciences il faut faire des observations, il faut donc des corps sensibles, organes des sens ou instruments de mesure. Pour que la mesure soit fiable, il faut qu’au même état de l’objet mesuré soit toujours associé le même état de l’instrument de mesure. Autrement dit, il faut qu’il y ait une loi de causalité, que le lien entre la cause et l’effet soit universel, qu’il ne dépende pas du lieu ou du moment de la mesure. Si la même cause n’avait pas toujours le même effet, il n’y aurait pas de mesure, pas d’observation possible. Que l’Univers obéisse à des lois est une condition de possibilité de l’observation.
• Les sujets qui connaissent la Nature sont tous semblables les uns aux autres. Les connaissances acquises par l'un peuvent être acquises par tous les autres. Si les êtres humains n’étaient pas semblables, ils ne pourraient pas partager leurs connaissances, et donc il n’y aurait pas de science.

Les symétries

Que veut dire symétrique ?

Un système est symétrique quand on peut permuter simultanément tous ses éléments sans modifier sa structure. Les symétries traduisent une sorte d'égalité du système avec lui-même, ou d'uniformité de sa structure. La notion d'isomorphisme, qui sera exposée plus loin, permet de préciser cette définition.

Un papillon par exemple, comme la plupart des animaux, est symétrique, au moins en surface, parce qu’on peut permuter tous les points de la moitié gauche du corps avec les points symétriques sur la moitié droite, sans que l’apparence du papillon soit modifiée

Les exemples de symétries sont très nombreux. Il y en a autant qu’il y a de façons de permuter simultanément les parties d’un système : symétries par rapport à un axe ou un plan, rotations, translations, homothéties, toutes leurs combinaisons et beaucoup d’autres.

Lorsqu’un système est symétrique, les parties permutables sont nécessairement semblables, presque identiques, puisque le système n’est pas modifié par leur permutation.

L’espace euclidien en son entier est un des systèmes les plus symétriques, au sens où l’ensemble des façons de permuter simultanément tous ses points sans modifier sa structure, son groupe de symétries, est l’un des plus grands, parmi les groupes des symétries géométriques. Tous les points de l’espace sont semblables. Ils n’ont pas d’autre qualité que d’être un point. Ils ont tous les mêmes relations avec le reste de l’espace. Les principales symétries de l’espace euclidien sont les isométries. Que tous les points sont semblables s’exprime alors par le fait que n’importe quel point peut être transformé en n’importe quel autre par une isométrie.

Si l’on brise la symétrie de l’espace en introduisant une sphère, alors tous les points ne sont plus semblables : il y a des points sur la sphère, d’autres à l’intérieur, d’autres encore à l’extérieur. En revanche tous les points de la sphère sont encore semblables. N’importe lequel d’entre eux peut être transformé en n’importe quel autre par une isométrie : une rotation autour du centre de la sphère.

Les symétries de l'espace, du temps et de l’Univers traduisent l’uniformité de sa structure.

Qu’est-ce qu’un isomorphisme ?

La notion d’isomorphisme permet de préciser la définition des symétries.

Un système est défini comme un modèle. Il faut déterminer

• l’ensemble U, fini ou infini, de ses éléments, ses points, ses atomes ou ses constituants élémentaires. C’est le domaine d’existence associé au système ou à l’univers étudié.
• l’ensemble, en général fini, des prédicats fondamentaux, propriétés de base des éléments et relations entre eux.
• l’ensemble, en général vide ou fini, des opérateurs, ou fonctions, qui déterminent davantage la structure du système.

Une transformation t est un isomorphisme, ou une symétrie, pour une relation binaire R lorsqu’elle est une fonction inversible de U dans U telle que

pour tout x et y , si x R y alors tx R ty

Ce qui est vrai de x et y, de satisfaire la relation R, est également vrai de tx et ty .

x est semblable à tx , y à ty . Cette définition d’un isomorphisme se généralise aisément aux prédicats unaires et à toutes les relations, quel que soit le nombre de leurs arguments. Pour un prédicat unaire P, une transformation t est un isomorphisme lorsque

pour tout x, si Px alors Ptx

Dans l’exemple du papillon, la symétrie entre la gauche et la droite est un isomorphisme pour les propriétés (les prédicats unaires) de couleur. Un point a la même couleur que son point symétrique.

Une transformation t est un isomorphisme pour un opérateur binaire + lorsque

pour tous x et y, t(x+y)=(tx)+(ty)

Cette définition d’un isomorphisme se généralise aisément à tous les opérateurs, quel que soit le nombre de leurs arguments.

À un opérateur binaire +, on peut associer une relation ternaire définie par x+y=z . On voit alors que la définition d’un isomorphisme pour un opérateur est un cas particulier de la définition d’un isomorphisme pour les relations.

Les groupes de symétries

Le groupe des symétries est l’ensemble de tous les isomorphismes du système. On a la propriété suivante.

Pour tous isomorphismes t et u, t°u est un isomorphisme et l’inverse de t est un isomorphisme

Cela donne à l’ensemble des isomorphismes la structure algébrique d’un groupe. La théorie des groupes est le principal outil théorique d’étude des symétries.