Logique de base/Algèbre de Boole

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Introduction

Dérivée des mathématiques, l'algèbre de Boole est utilisée par les automaticiens afin de réduire les équations logiques pour éviter de prendre trop de place dans les mémoires d'automates programmables. À l'époque, et pour les automatismes assez importants, la mémoire était un critère important : Il fallait par tous les moyens possibles réduire au minimum cette prise de place.
L'algèbre de Boole est un très bon outil utilisant des règles relativement simples. En algèbre de Boole, les variables (a, b, c ....) ne peuvent prendre que deux valeurs : 0 et 1

Les propriétés

Tout d’abord, les symboles utilisés en algèbre de Boole, bien qu'en apparence similaires à ceux des mathématiques, diffèrent dans leurs significations.

Ainsi

• le symbole " + " se lit " ou ". En effet l’expression " a + b = 1 " se lit " a ou b égal à 1 ". Cette condition est vérifiée pour a ou pour b (ou pour les deux en même temps) égale à 1
• le symbole " . " se lit " et ". En effet l’expression " a . b = 1 " se lit " a et b égal à 1 ". Cette condition est vérifiée pour a et b égal à 1. (Si l'un des deux vaut 0, l'équation n’est pas vérifiée)
• la variable " ${\bar {a}}$ " se lit " a barre " (ou " non a "). Elle prend la valeur opposé de a. Si a = 1 alors ${\bar {a}}$ = 0 et inversement.

Propriété du OU

• a + 1 = 1 (variable absorbée)
• a + 0 = a (élément neutre)
• a + a = a
• a + ${\bar {a}}$ = 1 (voir Propriété de la complémentarité)

Propriété du ET

• a . 1 = a (élément neutre)
• a . 0 = 0 (variable absorbée)
• a . a = a
• a . ${\bar {a}}$ = 0 (voir Propriété de la complémentarité)

Propriété de la complémentarité (négation)

• ${\bar {\bar {a}}}=a$
• ${\bar {\bar {\bar {a}}}}={\bar {a}}$

Propriété de l’idempotence

• a . a = a
• a + a = a

Propriété de la commutativité

• a + b = b + a
• a . b = b . a

Propriété de l'associativité

• a + b + c = ( a + b ) + c = a + ( b + c )
• a . b . c = ( a . b ) . c = a . ( b . c )

Propriété de la distributivité

• a . ( b + c ) = a . b + a . c
• ( a + b ) . ( c + d ) = a . c + a . d + b . c + b . d
• a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c )

Théorème de De Morgan

• ${\overline {a+b+c}}={\bar {a}}.{\bar {b}}.{\bar {c}}$
• ${\overline {a.b.c}}={\bar {a}}+{\bar {b}}+{\bar {c}}$

Exemple d’optimisations

Soit l’expression suivant : ( a + ${\bar {b}}$ + a . ${\bar {b}}$ ) . ( a . b + ${\bar {a}}$ . c + b . c )

La réduction de l’expression en commençant par la commutativité, nous obtenons :

= ( a . b ) + 0 + ( a . b ) + 0 + ( ${\bar {b}}$ . ${\bar {a}}$ . c ) + 0 + ( a . b . c ) + 0 + 0

= ( a . b ) + ( ${\bar {b}}$ . ${\bar {a}}$ . c ) + ( a . b . c )

= ( a . b ) + ( ${\bar {b}}$ . ${\bar {a}}$ . c )

= a . b + c

La réduction de l’expression en commençant par l’enlèvement d’éléments neutres, nous obtenons :

= ( a + ${\bar {b}}$ ) . ( a . b + c )

= a . b + a . c + 0 + ${\bar {b}}$ . c

= a . b + c

Exercices

Faites ces exercices : Algèbre de Boole.

Références

Électronique numérique : Fonctions logiques élémentaires