Logique de base/Exercices/Algèbre de Boole

Réduire les équations en utilisant les propriétés de l'algèbre de Boole:

À 2 variables

Équation 1

• $A=a+a\cdot b$

Solution

Je factorise par rapport à a dans tous les termes:

${\begin{aligned}A&=a(1+b)\\&=a\cdot 1\\&=a\\\end{aligned}}$

$A=a+a\cdot b=a$

 

Équation 2

• $B=a\cdot (a+b)$

Solution

Je développe $a$ par rapport à la parenthèse :

${\begin{aligned}B&=a\cdot a+a\cdot b\\&=a+a\cdot b\end{aligned}}$ (on remarque que a + a = 1)

Je factorise par rapport à $a$ dans tous les termes grâce à la simplification:

${\begin{aligned}B&=a\cdot (1+b)\\&=a\cdot 1\\&=a\end{aligned}}$

$B=a\cdot (a+b)=a$

 

Équation 3

• $C=a+({\bar {a}}\cdot b)$

Solution

${\begin{aligned}C&=(a+{\bar {a}})\cdot (a+b)\\&=1\cdot (a+b)\\&=a+b\end{aligned}}$

$C=a+({\bar {a}}\cdot b)=a+b$

 

Équation 4

• $D=(a+b)\cdot (a+{\bar {b}})$

Solution

Je développe la première parenthèse avec la deuxième :

${\begin{aligned}D&=a\cdot a+a\cdot {\bar {b}}+b\cdot a+b\cdot {\bar {b}}\\&=a+a\cdot {\bar {b}}+a\cdot b+0\\&=a+a\cdot {\bar {b}}+a\cdot b\end{aligned}}$

Je factorise par rapport à a dans tous les termes:

${\begin{aligned}D&=a(1+{\bar {b}}+b)\\&=a\cdot 1\\&=a\end{aligned}}$

$D=(a+b)\cdot (a+{\bar {b}})=a$

 

Équation 5

• $G=({\bar {a}}+{\bar {b}})+({\bar {a}}+b)+(a+{\bar {b}})$

Solution

On retire les parenthèses

${\begin{aligned}G&={\bar {a}}+{\bar {b}}+{\bar {a}}+b+a+{\bar {b}}\\\end{aligned}}$

a et son complément valent 1 et 1+ n'importe quelle valeur vaut 1

${\begin{aligned}G&=1\end{aligned}}$

 

Équation 6

• $H=({\bar {a}}+b)+(a+{\bar {b}})+(a+b)$

Solution

idem équation 5

 

À 3 variables

Équation 1

• $E=(a+b)\cdot (a+c)$

Solution

Je développe la première parenthèse avec la deuxième :

${\begin{aligned}E&=a\cdot a+a\cdot c+b\cdot a+b\cdot c\\&=a+a\cdot c+a\cdot b+b\cdot c\end{aligned}}$

Je factorise a dans tous les termes, sauf dans le dernier :

${\begin{aligned}E&=a(1+c+b)+b\cdot c\\&=a.1+b\cdot c\\&=a+b\cdot c\end{aligned}}$

$E=(a+b)\cdot (a+c)=a+b\cdot c$

 

Équation 2

• $F=(a+b)\cdot ({\bar {a}}+c)$

Solution

Je développe la première parenthèse avec la deuxième :

${\begin{aligned}F&=a\cdot {\bar {a}}+a\cdot c+b\cdot {\bar {a}}+b\cdot c\\&=0+a\cdot c+{\bar {a}}\cdot b+b\cdot c\\\end{aligned}}$

Théorème du consensus

${\begin{aligned}F&={\bar {a}}\cdot b+a\cdot c\end{aligned}}$

 

Équation 3

• $P=(a+{\bar {b}})\cdot (b+{\bar {c}})\cdot (c+{\bar {a}})$

Solution

On développe la première parenthèse avec la deuxième :

${\begin{aligned}P&=(a\cdot b+a\cdot {\bar {c}}+{\bar {b}}\cdot b+{\bar {b}}\cdot {\bar {c}})\cdot (c+{\bar {a}})\\&=(a\cdot b+a\cdot {\bar {c}}+0+{\bar {b}}\cdot {\bar {c}})\cdot (c+{\bar {a}})\\&=(a\cdot b+a\cdot {\bar {c}}+{\bar {b}}\cdot {\bar {c}})\cdot (c+{\bar {a}})\end{aligned}}$

On développe la première parenthèse avec la deuxième :

${\begin{aligned}P&=a\cdot b\cdot c+a\cdot {\bar {c}}\cdot c+{\bar {b}}\cdot {\bar {c}}\cdot c+a\cdot b\cdot {\bar {a}}+a\cdot {\bar {c}}\cdot {\bar {a}}+{\bar {b}}\cdot {\bar {c}}\cdot {\bar {a}}\\&=a\cdot b\cdot c+a.0+{\bar {b}}.0+a\cdot {\bar {a}}\cdot b+a\cdot {\bar {a}}\cdot {\bar {c}}+{\bar {b}}\cdot {\bar {c}}\cdot {\bar {a}}\\&=a\cdot b\cdot c+0+0+0\cdot b+0\cdot {\bar {c}}+{\bar {a}}\cdot {\bar {b}}\cdot {\bar {c}}\\&=a\cdot b\cdot c+0+0+0+0+{\bar {a}}\cdot {\bar {b}}\cdot {\bar {c}}\\&=a\cdot b\cdot c+{\bar {a}}\cdot {\bar {b}}\cdot {\bar {c}}\end{aligned}}$

$P=a\cdot b\cdot c+{\bar {a}}.{\bar {b}}.{\bar {c}}$

 

Équation 4

• $I=({\bar {b}}+{\bar {a}})\cdot (a\cdot c+{\bar {b}})$

Solution

${\begin{aligned}I&=a\cdot {\bar {b}}\cdot c+a\cdot {\bar {a}}\cdot c+{\bar {b}}\cdot {\bar {b}}+{\bar {a}}\cdot {\bar {b}}\\&=a\cdot {\bar {b}}\cdot c+{\bar {b}}+{\bar {a}}\cdot {\bar {b}}\\&={\bar {b}}\cdot (a\cdot c+1+a)\\&={\bar {b}}\cdot 1\\I&={\bar {b}}\end{aligned}}$

 

Équation 5

• $Q=(a+b+c)\cdot (a+{\bar {b}}+c)\cdot (a+{\bar {b}}+{\bar {c}})$

Solution

Je développe les deux premières parenthèses :

${\begin{aligned}Q&=(a\cdot a+a\cdot {\bar {b}}+a\cdot c+b\cdot a+b\cdot {\bar {b}}+b\cdot c+c\cdot a+c\cdot {\bar {b}}+c\cdot c)\cdot (a+{\bar {b}}+{\bar {c}})\\&=(a+a\cdot {\bar {b}}+a\cdot c+a\cdot b+0+b\cdot c+a\cdot c+{\bar {b}}\cdot c+c)\cdot (a+{\bar {b}}+{\bar {c}})\\&=(a+a\cdot {\bar {b}}+a\cdot c+a\cdot b+b\cdot c+a\cdot c+{\bar {b}}\cdot c+c)\cdot (a+{\bar {b}}+{\bar {c}})\\&=(a+a\cdot {\bar {b}}+a\cdot c+a\cdot b+b\cdot c+{\bar {b}}\cdot c+c)\cdot (a+{\bar {b}}+{\bar {c}})\end{aligned}}$

Dans la première parenthèse, je factorise $a$ autant que possible et dans le reste, je factorise $c$ autant que possible :

${\begin{aligned}Q&=[a\cdot (1+{\bar {b}}+c+b)+c\cdot (b+{\bar {b}}+1)]\cdot (a+{\bar {b}}+{\bar {c}})\\&=(a.1+c.1)\cdot (a+{\bar {b}}+{\bar {c}})\\&=(a+c)\cdot (a+{\bar {b}}+{\bar {c}})\\&=a\cdot a+a\cdot {\bar {b}}+a\cdot {\bar {c}}+c\cdot a+c\cdot {\bar {b}}+c\cdot {\bar {c}}\\&=a+a\cdot {\bar {b}}+a\cdot {\bar {c}}+a\cdot c+{\bar {b}}\cdot c+0\\&=a+a\cdot {\bar {b}}+a\cdot {\bar {c}}+a\cdot c+{\bar {b}}\cdot c\end{aligned}}$

Je factorise $a$ autant que possible =

${\begin{aligned}Q&=a.(1+{\bar {b}}+{\bar {c}}+c)+{\bar {b}}\cdot c\\&=a.1+{\bar {b}}\cdot c\\&=a+{\bar {b}}\cdot c\end{aligned}}$

$Q=a+{\bar {b}}.c$

 

Équation 6

$T=a\cdot b\cdot c+a\cdot {\bar {b}}\cdot c+a\cdot b\cdot {\bar {c}}$

Solution

On factorise a dans les 3 termes :

$T=a\cdot (b\cdot c+{\bar {b}}\cdot c+b\cdot {\bar {c}})$

Dans la parenthèse, on factorise dans le premier et le dernier terme :

${\begin{aligned}T&=a\cdot [b\cdot (c+{\bar {c}})+{\bar {b}}\cdot c]\\&=a\cdot [b\cdot 1+{\bar {b}}\cdot c]\\&=a\cdot (b+{\bar {b}}\cdot c)\\&=a\cdot [(b+{\bar {b}})\cdot (b+c)]\\&=a\cdot [1\cdot (b+c)]\\&=a\cdot (b+c)\end{aligned}}$

$T=a\cdot (b+c)$

 

Équation 7

$V=(a+b)\cdot (a+c)+(b+c)\cdot (b+a)+(c+a)\cdot (c+b)$

Solution

Je développe les 3 groupes de 2 parenthèses chacune :

${\begin{aligned}V&=a\cdot a+a\cdot c+b\cdot a+b\cdot c+b\cdot b+b\cdot a+b\cdot c+c\cdot a+c\cdot c+c\cdot b+a\cdot c+a\cdot b\\&=a+a\cdot c+a\cdot b+b\cdot c+b+a\cdot b+b\cdot c+a\cdot c+c+b\cdot c+a\cdot c+a\cdot b\\&=a+a\cdot c+a\cdot b+b\cdot c+b+c\end{aligned}}$

Je factorise a dans les 3 premiers termes et b dans les 2 termes suivants :

${\begin{aligned}V&=a(1+c+b)+b(c+1)+c\\&=a.1+b.1+c\\&=a+b+c\end{aligned}}$

$V=a+b+c$

 

Équation 8

$K=a\cdot c\cdot ({\bar {a}}+b+{\bar {c}})$

Solution

On développe l'expression :

${\begin{aligned}K&=a\cdot {\bar {a}}\cdot c+a\cdot b\cdot c+a\cdot c\cdot {\bar {c}}\end{aligned}}$

Les premiers et derniers produits disparaissent, d'où :

$K=a\cdot b\cdot c$

 

Équation 9

$L=ab+{\bar {a}}b+ac+{\bar {a}}c$

Solution

On factorise par b et par c :

${\begin{aligned}L&=b\cdot (a+{\bar {a}})+c\cdot (a+{\bar {a}})\\&=b\cdot 1+c\cdot 1\end{aligned}}$

$L=b+c$

 

À 4 variables

Équation 1

$U=({\bar {a}}+b)\cdot (a+b+d)\cdot {\bar {d}}$

Solution

Je développe la dernière parenthèse avec ${\bar {d}}$ :

${\begin{aligned}U&=({\bar {a}}+b)\cdot (a\cdot {\bar {d}}+b\cdot {\bar {d}}+d\cdot {\bar {d}})\\&=({\bar {a}}+b)\cdot (a\cdot {\bar {d}}+b\cdot {\bar {d}}+0)\\&=({\bar {a}}+b)\cdot (a\cdot {\bar {d}}+b\cdot {\bar {d}})\end{aligned}}$

Je développe les parenthèses :

${\begin{aligned}U&={\bar {a}}\cdot a\cdot {\bar {d}}+{\bar {a}}\cdot b\cdot {\bar {d}}+b\cdot a\cdot {\bar {d}}+b\cdot b\cdot {\bar {d}}\\&=0\cdot {\bar {d}}+{\bar {a}}\cdot b\cdot {\bar {d}}+b\cdot a\cdot {\bar {d}}+b\cdot {\bar {d}}\\&={\bar {a}}\cdot b\cdot {\bar {d}}+a\cdot b\cdot {\bar {d}}+b\cdot {\bar {d}}\end{aligned}}$

Je factorise ${\begin{aligned}b\cdot {\bar {d}}\end{aligned}}$ dans tous les termes :

${\begin{aligned}U&=(b\cdot {\bar {d}})\cdot ({\bar {a}}+a+1)\\&=(b\cdot {\bar {d}})\cdot 1\\&=b\cdot {\bar {d}}\end{aligned}}$

$U=b\cdot {\bar {d}}$

 

Équation 2

$Z=(a\cdot b+c+d)\cdot a\cdot b$

Solution

$Z=(a\cdot b+c+d)\cdot a\cdot b$

Je développe les parenthèses :

${\begin{aligned}Z&=a\cdot a\cdot b\cdot b+a\cdot b\cdot c+a\cdot b\cdot d\\&=a\cdot b+a\cdot b\cdot c+a\cdot b\cdot d\end{aligned}}$

Je factorise ${\begin{aligned}a\cdot b\end{aligned}}$ dans tous les termes :

${\begin{aligned}Z&=(a\cdot b)\cdot (1+c+d)\\&=(a\cdot b)\cdot 1\\&=a\cdot b\end{aligned}}$

$Z=a\cdot b$

 

Équation 3

$J=c\cdot (b+c)+(a+d)\cdot ({\bar {a}}+d)\cdot {\bar {c}}$

Solution

$J=c\cdot (b+c)+(a+d)\cdot ({\bar {a}}+d)\cdot {\bar {c}}$

Je développe les parenthèses :

${\begin{aligned}J&=c\cdot b+c\cdot c+a\cdot {\bar {a}}\cdot {\bar {c}}+a\cdot d\cdot {\bar {c}}+d\cdot {\bar {a}}\cdot {\bar {c}}+d\cdot d\cdot {\bar {c}}\\&=c\cdot b+c+0+a\cdot d\cdot {\bar {c}}+d\cdot {\bar {a}}\cdot {\bar {c}}+d\cdot {\bar {c}}\end{aligned}}$

Je factorise par $c$ dans les deux premiers termes et par $d{\bar {c}}$ dans les trois derniers termes.

${\begin{aligned}J&=(b+1)\cdot c+(a+{\bar {a}}+1)d\cdot {\bar {c}}\\&=c+d\cdot {\bar {c}}\\&=(1+d)\cdot c+d\cdot {\bar {c}}\\&=c+dc+d\cdot {\bar {c}}\\&=c+d(c+{\bar {c}})\\&=c+d\times 1\\&=c+d\\\end{aligned}}$

$J=c+d$