Logique des propositions/Équivalence

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Notion d'équivalence logique

Définitions

Définition 1

Deux propositions A et B sont équivalentes si et seulement si A et B ont toujours la même valeur de vérité, c'est-à-dire si lorsque A est vrai, B est vrai et lorsque B est vrai, A est vrai également.

Propriétés

Propriété 1

Pour toute distribution de valeurs de vérité aux atomes, A et B auront même valeur de vérité

Propriété 2

A est équivalent à B si et seulement si A implique B et B implique A

Propriété 3

Deux formules valides sont équivalentes

Propriété 4

Une formule équivalente à une formule valide ne peut être que valide

Notation

L'équivalence logique se note : "$\Leftrightarrow$" ou parfois "$\approx$"

Une formule A équivalente à une formule B sera donc notée : "$A\Leftrightarrow B$

Point important

Biconditionnel : niveau du langage sur le système formel

Équivalence : niveau du META-LANGAGE (discours sur le discours)

Méthode

Pour démontrer qu'une formule A est équivalente à une formule B, il faut former le biconditionnel entre ces deux formules et prouver que la formule qui en résulte est valide, c'est-à-dire faire un arbre de Quine et ne trouver que du vrai.

Début de l'exemple

Exemple

Soit une formule A correspondant à $a\lor \lnot a$ et une formule B correspondant à $a\to a$.

1. On forme le biconditionnel $(a\lor \lnot a)\leftrightarrow (a\to a)$
2. On procède à une analyse sémantique :
   

Fin de l'exemple

Intérprétation

1. On a que du V : Cela signifie que $\models A\leftrightarrow B$ (le biconditionnel entre A et B est valide) et donc qu'on a bien $A\Leftrightarrow B$ (A est équivalent à B)
2. On a un ou plusieurs F : le biconditionnel n’est pas valide donc il n'y a pas équivalence : On ne peut rien en déduire.