Logique des propositions/Implication

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Notion d'implication

Définitions

Définition 1

On dit qu'une proposition A implique une proposition B si et seulement si chaque fois qu'A est vraie alors B est vraie elle aussi.

Dire qu'A implique B revient à affirmer la validité du conditionnel $A\to B$.

Remarque : La réciproque n’est pas vraie. Ce n’est pas parce qu'A implique B que B implique A.

Notations

L'implication se note « $\models$ ».

On note « A est valide » de cette façon : « $\models A$ ».

On note « A implique B » de cette façon : « $A\models B$ » ou « $\models A\to B$ ».

Il est déconseillé d'employer le symbole « $\Rightarrow$ » pour ne pas mélanger à la notation mathématique.

Signification

« $A\models B$ » veut dire « Si A est vrai, B est vrai ».

Par contre, si A est faux on ne sait rien sur B.

Point important

Conditionnel : niveau de la langue du système formel.

Implication : niveau de la META-LANGUE (discours sur le discours).

Méthode

Pour prouver $A\models B$, il suffit de créer le conditionnel $A\to B$ et de le prouver grâce à une analyse sémantique.

Début de l'exemple

Exemple

Soient A la proposition correspondant à $a\land b$ et B la proposition correspondant à $a\lor b$.
Pour prouver que $A\models B$ on doit prouver la validité de $A\to B$.

On procède à l'analyse sémantique de $(a\land b)\to (a\lor b)$ :

Ici, on trouve du V partout, donc le conditionnel "si A alors B" est valide. Donc on peut dire qu'A implique B.

Fin de l'exemple