Logique des propositions/Arbres de Quine

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Règles pratiques de calcul

1. La négation inverse les valeurs de vérité des énoncés.
2. Si l'un des termes d'une conjonction est F, alors la conjonction est F; si l'un des termes est V, la valeur de vérité de la conjonction est la même que celle de l'autre terme.
3. Si l'un des termes d'une disjonction est V, alors la disjonction est V; si l'un des termes est F, la valeur de vérité de la disjonction est la même que celle de l'autre terme.
4. Si l’antécédent d'un conditionnel est F ou si son conséquent est V, alors le conditionnel est V; si l’antécédent est V, alors le conditionnel a la même valeur de vérité que le conséquent; si le conséquent est F, alors le conditionnel a la même valeur de vérité que la négation de l’antécédent.
5. Si l'un des termes d'un biconditionnel est V, alors le biconditionnel a la même valeur de vérité que l'autre terme; si l'un des termes est F, alors le biconditionnel a la même valeur de vérité que la négation de l'autre terme.

Illustration

Voici une représentation de ce qu’illustrent les règles ci-dessus :

Servez-vous des tables de vérité du chapitre précédent pour comprendre le fonctionnement des arbres de Quine.

Exemple

Et maintenant un exemple plus concret :

On obtient ici toutes les distributions qui rendent la formule vraie :

• On observe que si a est faux, la formule sera vraie quelle que soit la valeur de vérité de c, b, et d.
• La formule sera vraie également si a est vrai et si c est faux quel que soit b et d.
• À la fin du processus, c'est-à-dire en bas de l'arbre, on constate que la formule n'est fausse que pour une seule distribution de valeurs de vérité aux atomes : Si a, b et c sont vraies et d est fausse. Toutes les autres distributions rendent la formule vraie.