Logique des propositions/Validité

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Validité d'une proposition

Définitions

Proposition valide ou tautologique

Une proposition est dite valide ou tautologique si et seulement si elle est vraie en toutes circonstances.

Début de l'exemple

Exemple

• $a\lor \lnot a$
• $a\leftrightarrow \lnot \lnot a$
• $a\to a$

Fin de l'exemple

Pour vérifier qu'une proposition est valide,

1. on effectue une analyse sémantique (arbre de vérité, arbre de Quine)
2. si l’on obtient :

• que des V à la fin du processus, la formule est valide; c’est une tautologie.
• un F (au moins), la formule n’est pas valide; ce n’est pas une tautologie.

Proposition antinomique

Une proposition est dite antinomique si et seulement si elle est fausse en toutes circonstances.

C'est le cas lorsque l’on obtient que des F sur un arbre de vérité Une antinomie est la négation d'une tautologie, et réciproquement.

Début de l'exemple

Exemple

• $a\land \lnot a$

Fin de l'exemple

Propositions contingentes

Les propositions qui sont parfois vraies, parfois fausses sont appelées propositions contingentes

C'est le cas pour la plupart des propositions logiques.

Définition

La valeur de vérité d'une formule valide ou antinomique ne dépend pas de la valeur de vérité des atomes qui les constituent.

Propriétés

Propriété 1

Une antinomie implique n’importe quelle autre propriété

Début de l'exemple

Exemple

Soit A une antinomie, B une proposition quelconque, on peut dire que $A\to B$ est valide : Son antécédent est toujours faux.

Donc on peut aussi dire qu'A implique B. (voir chapitre sur l’Implication)

Fin de l'exemple

Propriété 2

Une antinomie n'est impliquée que par des antinomies

Propriété 3

Une tautologie n'implique que des tautologies

Propriété 4

Une tautologie est impliquée par n’importe quelle proposition

Liste non exhaustive de propositions valides

• $a\lor \lnot a$ ⇒ (principe du tiers-exclu)
• $\lnot (a\land \lnot a)$ ⇒ (principe de non-contradiction)
• $(\lnot a\land (a\lor b))\to b$ ⇒ (modus tollens)
• $(a\land (a\to b))\to b$ ⇒ (modus ponens)
• $(a\to (b\to c))\leftrightarrow ((a\land b)\to c)$ ⇒ (principe de détachement)
• $((a\to b)\land (b\to c))\to (a\to c)$ ⇒ (transitivité de la conditionnalité)
• $\lnot (a\lor b)\leftrightarrow (\lnot a\land \lnot b)$ ⇒ (Lois de De Morgan 1)
• $\lnot (a\land b)\leftrightarrow (\lnot a\lor \lnot b)$ ⇒ (Lois de De Morgan 2)
• $(a\to b)\leftrightarrow (\lnot b\to \lnot a)$ ⇒ (Loi de contraposition)
• $(a\to b)\leftrightarrow (\lnot a\lor b)$
• $(a\to b)\lor (b\to a)$
• $(a\leftrightarrow b)\leftrightarrow ((a\to b)\land (b\to a))$
• $(a\leftrightarrow b)\leftrightarrow ((a\land b)\lor (\lnot a\land \lnot b))$