Logique formelle/Exercices/Quantificateurs et connecteurs logiques
Exercice 1-1
modifierPour quels ensembles l'implication suivante est-elle vraie quels que soient les prédicats et ?
Solution
Si , l'implication est trivialement vraie car est toujours vrai et aussi.
Si , l'implication est encore vraie, car elle se traduit par .
Si a au moins deux éléments , l'implication est fausse par exemple pour et .
Remarque : en revanche, l'implication réciproque, elle, est toujours vraie.
Moralité : et ne commutent pas. Cela n'a rien d'étonnant car est en quelque sorte un infini, or le usuel lui-même ne commute pas avec .
Exercice 1-2
modifierSoient et deux ensembles ordonnés et une application.
- Traduire formellement : « n'est pas strictement croissante ». (Attention : on ne suppose pas que les ordres et sont totaux.)
- Traduire formellement : « est croissante ».
- En déduire (formellement) que si est croissante et non strictement croissante, alors il existe tels que et est constante sur l'ensemble .
Solution
- .
- .
- Comme n'est pas strictement croissante, il existe tels que et . Comme est croissante, . Donc .
Par croissance de , on en déduit : donc (par antisymétrie de ) .
Voir aussi
modifier« TD : Exercices de logique », sur Université d'Angers, L3SEN