Relation (mathématiques)/Relation d'ordre
Définition
- Une relation d'ordre (ou une relation d'ordre partiel, ou simplement un ordre) est une relation réflexive, transitive et antisymétrique.
- Si est une relation d'ordre sur , deux éléments et de sont dits comparables si ou .
- On dit qu'une relation d'ordre sur est un ordre total si deux éléments quelconques de sont comparables (). Dans le cas contraire, on parle d'ordre partiel.
- Si est une relation d'ordre sur , on appelle « ordre strict associé à » la relation sur définie par : .
- Réciproquement, si est un « ordre strict » sur , c'est-à-dire une relation antiréflexive et transitive, on appelle « relation d'ordre associée à » la relation sur définie par : .
- Exemples
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- L'ordre usuel sur est une relation d'ordre, d'ordre strict associé l'ordre strict usuel .
- La restriction de toute relation d'ordre sur à une partie de est une relation d'ordre sur .
- Si est un ensemble, la relation (inclusion) définie sur (l'ensemble des parties de ) est une relation d'ordre.
Propriété
Sur un ensemble préordonné , la relation définie par est une relation d'équivalence, et la relation sur l'ensemble quotient , bien définie par , est une relation d'ordre.