Loi binomiale conditionnée/Exercices/Exemple d'une loi binomiale conditionnée par une loi binomiale

Une opératrice doit téléphoner à 20 clients pour leur transmettre une information. Elle sait que dans la journée, la probabilité d’avoir chacun des 20 clients est 1/5 alors que le soir la probabilité de les avoir est 2/3. Elle décide d’appeler tous les clients dans la journée et de ne rappeler le soir seulement les clients qu’elle n’a pas pu avoir dans la journée. Calculer la probabilité qu'au plus deux clients n’aient pas pu être contactés.

Solution

Si X est la variable aléatoire donnant le nombre de clients n’ayant pas répondu dans la journée, Y est la variable aléatoire donnant le nombre de clients n’ayant pas répondu le soir et Z la variable aléatoire donnant le nombre de clients n’ayant pas eu l’information, nous voyons que Z prend pour valeur la valeur donnée par Y conditionnée par X. Il est bien évident que X est régi par une loi binomiale de paramètres (20,4/5) alors que Y est régi par une loi binomiale dont le premier paramètre dépend du nombre de clients n’ayant pas répondu dans la journée et l’autre paramètre est 1/3. D’après le théorème du cours, Z sera une loi binomiale de paramètres (20,4/15). On aura donc :

${\begin{aligned}p(Z\leqslant 2)&=p(Z=0)+p(Z=1)+p(Z=2)\\&={20 \choose 0}\left({\frac {4}{15}}\right)^{0}\left({\frac {11}{15}}\right)^{20}+{20 \choose 1}\left({\frac {4}{15}}\right)^{1}\left({\frac {11}{15}}\right)^{19}+{20 \choose 2}\left({\frac {4}{15}}\right)^{2}\left({\frac {11}{15}}\right)^{18}\\&=\left({\frac {11}{15}}\right)^{20}+20\times {\frac {4}{15}}\left({\frac {11}{15}}\right)^{19}+{\frac {20\times 19}{2}}\left({\frac {4}{15}}\right)^{2}\left({\frac {11}{15}}\right)^{18}\\&={\frac {2496402873758011934969}{36947297000885009765625}}\\&\simeq 0,06756659\end{aligned}}$