Loi binomiale conditionnée/Exercices/Exemple d'une loi binomiale conditionnée par une loi de Poisson

Un ascenseur dessert plusieurs étages d’un immeuble. À chaque voyage, le nombre de personnes qui montent dans cet ascenseur au rez de chaussé suit une loi de Poisson de paramètre λ = 5 . Chaque personne, qui monte dans cet ascenseur, a une probabilité 1/3 de descendre au premier étage. Calculer la probabilité pour qu’à un voyage donné, il y ait 2 personnes qui descendent au premier étage.

Solution

Chaque personne dans l’ascenseur a une probabilité 1/3 de descendre au premier étage et ceci indépendamment des autres personnes. Nous sommes en présence d’une loi binomiale dont le premier paramètre dépend d’une loi de Poisson (de paramètre λ = 5) et dont le second paramètre est 1/3. D’après le cours, la composée des deux sera une loi de Poisson de paramètre 5/3. La probabilité que deux personnes descendent au premier étage sera donc :

$p(Z=2)=e^{-{\frac {5}{3}}}{\frac {\left({\frac {5}{3}}\right)^{2}}{2!}}=0,2623$