Loi binomiale conditionnée/Exercices/Exemple d'une loi binomiale conditionnée par une loi géométrique

Dans un jeu télévisé appelé Les Douze Coups de midi, quatre candidats s'affrontent. Le vainqueur de ce premier affrontement est sûr de revenir le lendemain pour affronter trois nouveaux candidats, et il peut ainsi revenir autant de fois qu’il réussira à battre les autres candidats. Après avoir battu les trois autres candidats, le vainqueur est amené à répondre à cinq questions supplémentaires et, s'il y réussit, il gagne une grosse somme d'argent. On dit alors qu’il a réalisé un coup de maître.

Martine, une candidate très cultivée, se présente à ce jeu. La probabilité qu'elle réussisse à battre les trois autres candidats est de 4/5 et la probabilité qu'elle réussisse un coup de maître est de 1/3.

Calculer la probabilité que Martine réussisse exactement deux coups de maître avant qu'elle ne soit, un jour, éliminée par les autres candidats.

Solution

Soit X, la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jours où Martine participe au jeu télévisé. Nous voyons que X est une loi géométrique de paramètre 4/5. On a :

$p(X=k)=\left({\frac {4}{5}}\right)^{k-1}{\frac {1}{5}}$

Soit Y la variable aléatoire donnant le nombre de coups de maître réalisé sur les m jours consécutifs que Martine a effectués avant le jour de son élimination. Nous voyons que Y est une loi binomiale de paramètre (m,1/3).

$p(Y=k)={m \choose k}\left({\frac {1}{3}}\right)^{k}\left({\frac {2}{3}}\right)^{m-k}$

Nous voyons que le paramètre m de Y est donné par (X - 1). Nous avons donc une loi binomiale Y conditionnée par une loi géométrique X.

Soit donc Z la variable aléatoire qui prend pour valeur, les valeurs prises par la loi (Y+1) dont le paramètre m est donné par la loi (X-1).

D'après un théorème du cours, Z est une loi géométrique de paramètre :

${\frac {\alpha p}{1-p+\alpha p}}={\frac {{\frac {1}{3}}{\frac {4}{5}}}{1-{\frac {4}{5}}+{\frac {1}{3}}{\frac {4}{5}}}}={\frac {4}{7}}$

La probabilité que Martine réussisse exactement deux coups de maître avant d’être éliminée sera obtenue pour Z = 3 puisque Z, étant une loi géométrique, donne le rang du premier échec (Z = 3 correspond à deux succès suivi d'un échec).

La probabilité que Martine réussisse deux coups de maître est donc :

$p(Z=3)=\left({\frac {4}{7}}\right)^{3-1}\times \left(1-{\frac {4}{7}}\right)={\frac {48}{343}}$