Loi binomiale conditionnée/Exercices/Exemple d'une loi binomiale conditionnée par une loi binomiale négative

Un animateur radiophonique téléphone à ses auditeurs pour leur poser une question leur permettant de gagner un voyage dans un pays de rêve. La probabilité que l’auditeur réponde correctement à la question est 1/4. Si l’auditeur ne répond pas à la question, l’animateur lui pose une seconde question pour lui permettre de gagner un lot de consolation. La probabilité que l’auditeur réponde correctement à la seconde question est alors de 1/3. L’animateur arrête le jeu lorsque 10 voyages ont été gagnés. Quelle est alors la probabilité que 7 lots de consolation aient été gagnés.

Solution

L’animateur va poser des questions permettant de gagner des voyages jusqu'à ce que 10 voyages aient été gagnés. La question permettant de gagner un lot de consolation ne sera posée qu’aux personnes n’ayant pas répondu correctement à la première question. Nous sommes donc intéressés par le nombre de personnes n’ayant pas répondu à la première question avant que 10 voyages aient été gagnés. Le nombre d’échecs à la première question sera donc donné par une loi binomiale négative X de paramètre r=10 et p =1/4. Les personnes ayant mal répondu à la première question auront une probabilité 1/3 de répondre à la deuxième question et ceci indépendamment les unes des autres. Nous aurons donc affaire à une loi binomiale Y dont le premier paramètre est déterminé par X et le deuxième paramètre est donné par α = 1/3. D’après un théorème du cours, la composée de ces deux opérations nous donne une loi binomiale négative Z dont le premier paramètre est 10 et le second est :

${\frac {p}{\alpha +p-\alpha p}}={\frac {\frac {1}{4}}{{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{3}}\times {\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{2}}$

La probabilité que 7 lots de consolation aient été gagnés sera donc :

$p(Z=7)={7+10-1 \choose 10-1}\left({\frac {1}{2}}\right)^{10}\left({\frac {1}{2}}\right)^{7}={\frac {16!}{9!7!2^{17}}}={\frac {715}{8192}}$