Loi binomiale conditionnée/Loi binomiale conditionnée par une loi de Poisson

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Soit X une loi de Poisson de paramètre λ.

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Soit Y une loi binomiale de paramètre (m,α).

Supposons que le paramètre m de la loi Y soit donné par la variable aléatoire X.

Soit Z la variable aléatoire qui prend pour valeur, la valeur obtenue par la variable Y dont le paramètre m est la valeur donnée par la variable X.

Étudions la loi de probabilité de Z.

X prenant toutes les valeurs de 〚0;+∞〚, m prendra une valeur dans 〚0;+∞〚 et par conséquent Z prendra ses valeurs dans 〚0;+∞〚.

(X = k) k ∈〚0;+∞〚 étant un système complet d’événements, on a :

${\begin{aligned}p(Z=k)&=p(Y=k)\\&=\sum _{i=1}^{\infty }p\left[(Y=k)/(X=i)\right]\times p(X=i)\\&=\sum _{i=k}^{\infty }{i \choose k}\alpha ^{k}(1-\alpha )^{i-k}\times e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\\&=\sum _{i=0}^{\infty }{i+k \choose k}\alpha ^{k}(1-\alpha )^{i}\times e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{i+k}}{(i+k)!}}\\&=\alpha ^{k}e^{-\lambda }\lambda ^{k}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(i+k)!}{i!k!}}(1-\alpha )^{i}\times {\frac {\lambda ^{i}}{(i+k)!}}\\&=\alpha ^{k}e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\sum _{i=0}^{\infty }(1-\alpha )^{i}\times {\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\\&=\alpha ^{k}e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\left[(1-\alpha )\lambda \right]^{i}}{i!}}\\&=\alpha ^{k}e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{\lambda -\alpha \lambda }\\&=\alpha ^{k}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\alpha \lambda }\\&=e^{-\alpha \lambda }{\frac {(\alpha \lambda )^{k}}{k!}}\end{aligned}}$

Nous voyons alors que Z est une loi de Poisson de paramètre αλ.

Nous retiendrons :

Début d’un théorème

Théorème

Une loi binomiale de paramètre (m,α) dont le paramètre m résulte d’une loi de Poisson de paramètre λ est assimilable à une loi de Poisson de paramètre αλ.

Fin du théorème