Loi de Kirchhoff/Loi des mailles

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Loi des mailles

Propriété

On définit une maille comme étant un ensemble de branches d'un circuit qui forme une boucle. Dans une maille, la somme algébrique des tensions le long de la maille est constamment nulle.

Cette loi découle de la définition de la tension comme différence de potentiel entre deux points. La tension entre a et b est $\scriptstyle U_{ab}=V_{a}-V_{b}$. $\scriptstyle V_{a}$ et $\scriptstyle V_{b}$ étant les potentiels respectifs aux points a et b. En additionnant toutes les tensions d'une maille et en se servant de cette définition, on obtient un résultat nul. Ceci est dû au fait qu'en parcourant la totalité d'une maille, on retourne au point de départ, donc on retrouve le potentiel de départ, la différence de potentiel — de la maille — est ainsi nulle

Méthode

1. On trace le sens de parcours du courant et les tensions associées à chaque dipôle.
2. On dessine la maille.
3. Si le sens de la maille est différent de la tension associée au dipôle, il faut soustraire cette tension.
4. Pour le sens cela dépend de la flèche. La pointe c'est le + et le plat c'est le -.
5. On remplace dans l’équation des mailles.

Application

On applique la première et la deuxième méthode, c'est-à-dire, on dessine la maille et on flèche les tensions de chaque dipôle :

On n'oublie pas de faire attention aux sens de flèchage des tensions. On effectue ensuite l'équation de la loi des mailles : $U_{ab}+U_{bc}+U_{cd}=U_{ad}\;$ Soit : $U_{ab}+U_{bc}+U_{cd}-U_{ad}=0\;$ On trouve donc que la somme des tensions dans une maille est égale à 0.

Remarque : On déduit $\scriptstyle U_{ab}+U_{bc}+U_{cd}-U_{ad}=0\;$ ; mais sachant que pour un dipôle $\scriptstyle U_{ad}=-U_{da}\;$, on peut aussi écrire la relation suivante $\scriptstyle U_{ab}+U_{bc}+U_{cd}+U_{da}=0\;$.

Aide à l’application

Début de l'exemple

Exemple de simplification

Sur ce schéma, on voit très rapidement le sens de chaque tension qui nous servira pour la loi des mailles ; on regroupe :

• toutes les tensions fléchées de gauche à droite (ici $\scriptstyle {\color {Blue}U_{ad}}\;$)
• toutes les tensions fléchées de droite à gauche (ici $\scriptstyle {\color {Red}U_{ab}+U_{bc}+U_{cd}}\;$)

Et on déduit notre loi de mailles :

• ${\color {Red}U_{ab}+U_{bc}+U_{cd}}={\color {Blue}U_{ad}}\;$

Fin de l'exemple