Loi de Kirchhoff/Pont diviseur de tension

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Généralités

Propriété

Le pont diviseur de tension est un montage électronique simple permettant d'obtenir une tension proportionnelle à une autre tension.

Constitution

Un pont diviseur de tension est constitué de plusieurs résistances en série, voire en parallèle. La tension d'alimentation est appliquée à l’ensemble des résistances tandis que la tension de sortie est prise aux bornes d'une d'entre elles.

Applications

Pont diviseur de tension : 2 résistances, non chargées

Dans ce type de montage, les résistances $\scriptstyle {\color {Red}R1}\;$ et $\scriptstyle {\color {Red}R2}\;$ sont en série et elles sont soumises à la tension d'alimentation du circuit $\scriptstyle {\color {Blue}V_{in}}\;$. On souhaite mesurer la tension $\scriptstyle {\color {Blue}V_{a}}\;$ aux bornes d'une des résistances (ici $\scriptstyle {\color {Red}R2}\;$). On obtient l'équation suivante :

$V_{a}=V_{in}\times {\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$

Démonstration

• D'après le cours sur l'association des résistances, la résistance équivalente, pour deux résistances en série, est égal à :

$R_{eq}=R_{1}+R_{2}$

• On se retrouve donc avec une résistance ($\scriptstyle R_{eq}\;$) traversée par le courant $\scriptstyle I\;$, avec la tension $\scriptstyle V_{in}\;$ appliquée à ses bornes. D'après la loi d'Ohm :

$V_{in}=R_{eq}\times I$

• Soit :

$I={\frac {V_{in}}{R_{eq}}}={\frac {V_{in}}{R_{1}+R_{2}}}$

• Sur le montage ci-dessus, on trouve que $\textstyle V_{a}=R_{2}\times I\;$, donc on remplace $\textstyle I\;$ par $\textstyle {\frac {V_{a}}{R_{2}}}\;$ :

${\frac {V_{a}}{R_{2}}}={\frac {V_{in}}{R_{1}+R_{2}}}$

• On simplifie par $\scriptstyle R_{2}\;$ :

$V_{a}=V_{in}\times {\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$

 

Pont diviseur de tension : 3 résistances, non chargées

Dans ce deuxième type de montage, les résistances $\scriptstyle {\color {Red}R1}\;$, $\scriptstyle {\color {Red}R2}\;$ et $\scriptstyle {\color {Red}R3}\;$ sont en série et elles sont soumises à la tension d'alimentation du circuit $\scriptstyle {\color {Blue}V_{in}}\;$. On souhaite mesurer la tension $\scriptstyle {\color {Blue}V_{a}}\;$ aux bornes d'une des résistances (ici $\scriptstyle {\color {Red}R3}\;$). On obtient l'équation suivante :

$V_{a}=V_{in}\times {\frac {R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}}$

Démonstration

• D'après le cours sur l'association des résistances, la résistance équivalente, pour deux résistances en série, est égal à :

$R_{eq}=R_{1}+R_{2}$

• On se retrouve avec notre premier montage étudié (Pont diviseur de tension : 2 résistances, non chargé) avec une résistance $\scriptstyle {\color {Red}R_{eq}}\;$ en série avec la résistance $\scriptstyle {\color {Red}R_{3}}\;$ ; soit :

$V_{a}=V_{in}\times {\frac {R_{3}}{R_{eq}+R_{3}}}$

• On remplace $\scriptstyle {\color {Red}R_{eq}}\;$ :

$V_{a}=V_{in}\times {\frac {R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}}$

 

Pont diviseur de tension : 2 résistances en parallèles, chargé avec 1 résistance en série

Dans ce dernier type de montage, la résistance $\scriptstyle {\color {Red}R1}\;$ est en série avec les résistances $\scriptstyle {\color {Red}R2}\;$ et $\scriptstyle {\color {Red}R3}\;$ en parallèle. Elles sont soumises à la tension d'alimentation du circuit $\scriptstyle {\color {Blue}V_{in}}\;$. On souhaite mesurer la tension $\scriptstyle {\color {Blue}V_{a}}\;$ aux bornes des résistances en parallèle (ici $\scriptstyle {\color {Red}R2}\;$ et $\scriptstyle {\color {Red}R3}\;$). On obtient l'équation suivante :

$V_{a}=V_{in}\times {\frac {R_{2}R_{3}}{R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}}$

Remarque : Lorsque $\scriptstyle {\color {Red}R3}\;$ est très grand devant $\scriptstyle {\color {Red}R2}\;$, on peut négliger le terme $\scriptstyle {\color {Red}R1\times R2}\;$ par rapport à $\scriptstyle {\color {Red}R1\times R3}\;$, ce qui après simplification par $\scriptstyle {\color {Red}R3}\;$ permet de retrouver l'équation du pont non chargé à 2 résistances ci-dessus.

Démonstration

• D'après le cours sur l'association des résistances, la résistance équivalente, pour deux résistances en parallèle, est égal à :

$R_{eq}={\frac {R_{2}\times R_{3}}{R_{2}+R_{3}}}$

• Le principe est de transformer les deux résistances $\scriptstyle {\color {Red}R2}\;$ et $\scriptstyle {\color {Red}R3}\;$ en une seule $\scriptstyle {\color {Red}R_{eq}}\;$, ce qui permet d'assimiler notre montage au premier montage étudié (Pont diviseur de tension : 2 résistances, non chargé) avec une résistance $\scriptstyle {\color {Red}R1}\;$ en série avec la résistance $\scriptstyle {\color {Red}R_{eq}}\;$ ; soit :

$V_{a}=V_{in}\times {\frac {R_{eq}}{R_{1}+R_{eq}}}$

• On remplace $\scriptstyle R_{eq}\;$ :

$V_{a}=V_{in}\times {\frac {\frac {R_{2}\times R_{3}}{R_{2}+R_{3}}}{R_{1}+{\frac {R_{2}\times R_{3}}{R_{2}+R_{3}}}}}$

• On simplifie par $\scriptstyle {\color {Red}R2+R3}\;$ :

$V_{a}=V_{in}\times {\frac {R_{2}R_{3}}{R_{1}(R_{2}+R_{3})+R_{2}R_{3}}}$

• soit (en développant) :

$V_{a}=V_{in}\times {\frac {R_{2}R_{3}}{R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}}$

 

Utilisations

Le pont diviseur de tension sert généralement à conditionner un signal afin de le traiter par un circuit tout en respectant sa dynamique d'entrée.