Loi de Kirchhoff/Pont diviseur de courant

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Généralités

Propriété

La formule du diviseur de courant permet de calculer l'intensité du courant dans une résistance lorsque celle-ci fait partie d'un ensemble de résistances en parallèle et lorsque l’on connaît le courant total qui alimente cet ensemble.

Applications

En courant continu : 2 résistances

Dans cet exemple deux résistances sont branchées en parallèle, elles sont donc soumises à la même tension $\scriptstyle {\color {Blue}U}\;$ à leurs bornes.

On connaît l'intensité du courant qui traverse le groupe de résistance : $\scriptstyle {\color {Red}I}\;$.

On souhaite calculer l'intensité du courant qui traverse une seule résistance : $\scriptstyle {\color {Red}I_{1}}\;$.

En utilisant le pont diviseur de courant, on en déduit que : $I_{1}={\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\times I\;$ ou de même : $I_{1}={\frac {G_{1}}{G_{1}+G_{2}}}\times I\;$ (G étant la conductance = $\textstyle {\frac {1}{R}}\;$)

Démonstration avec les résistances

• D'après le cours sur l'association des résistances, la résistance équivalente, pour deux résistances en parallèle, est égal à :

$R_{eq}={\frac {R_{1}\times R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$

• On se retrouve donc avec une résistance ($\scriptstyle R_{eq}\;$) traversée par le courant $\scriptstyle I\;$, avec la tension $\scriptstyle U\;$ appliquée à ses bornes. D'après la loi d'Ohm :

$U=R_{eq}\times I\;$

• Soit :

$U={\frac {R_{1}\times R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\times I\;$

• Sur le montage ci-dessus, on trouve que $\textstyle U=R_{1}\times I_{1}\;$, donc :

$R_{1}\times I_{1}={\frac {R_{1}\times R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\times I\;$

• On simplifie par $\scriptstyle R_{1}\;$ :

$I_{1}={\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\times I\;$

 

Démonstration avec les conductances

• Sur le même principe que pour les résistances, on déduit la conductance équivalente, pour 2 conductances en parallèle, qui est égal à :

$G_{eq}=G_{1}+G_{2}$

• On se retrouve donc avec une conductance ($\scriptstyle G_{eq}\;$) traversée par le courant $\scriptstyle I\;$, avec la tension $\scriptstyle U\;$ appliquée à ses bornes. D'après la loi d'Ohm :

$U={\frac {I}{G_{eq}}}\;$

• Soit :

$U={\frac {1}{G_{1}+G_{2}}}\times I\;$

• Sur le montage ci-dessus et d’après la loi d'Ohm pour les conductances, on trouve que $\textstyle U={\frac {I_{1}}{G_{1}}}\;$, donc :

${\frac {I_{1}}{G_{1}}}={\frac {1}{G_{1}+G_{2}}}\times I\;$

• On simplifie par $\scriptstyle G_{1}\;$ :

$I_{1}={\frac {G_{1}}{G_{1}+G_{2}}}\times I\;$

 

En courant continu : plusieurs dipôles

Dans le cas de trois résistances ou plus en parallèle, on utilise la même méthode. Les résistances sont toujours soumises à la même tension $\scriptstyle {\color {Blue}U}\;$ à leurs bornes.

On connaît l'intensité du courant qui traverse le groupe de résistance : $\scriptstyle {\color {Red}I}\;$.

On souhaite calculer l'intensité du courant qui traverse une seule résistance : $\scriptstyle {\color {Red}I_{1}}\;$.

En utilisant le pont diviseur de courant, on en déduit que : $I_{1}={\frac {1}{1+{\frac {R_{1}}{R_{2}}}+{\frac {R_{1}}{R_{3}}}}}\times I\;$ ou de même : $I_{1}={\frac {G_{1}}{G_{1}+G_{2}+G_{3}}}\times I\;$ (G étant la conductance = $\textstyle {\frac {1}{R}}\;$)

Conclusion : avec trois résistances ou plus, il est donc conseillé d’utiliser les conductances pour obtenir une formule moins compliquée.

Démonstration avec les résistances

• D'après le cours sur l'association des résistances, la résistance équivalente, pour trois résistances en parallèle, est égal à :

$R_{eq}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}}}$

• On se retrouve donc avec une résistance ($\scriptstyle R_{eq}\;$) traversée par le courant $\scriptstyle I\;$, avec la tension $\scriptstyle U\;$ appliquée à ses bornes. D'après la loi d'Ohm :

$U=R_{eq}\times I\;$

• Soit :

$U={\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}}}\times I\;$

• Sur le montage ci-dessus, on trouve que $\textstyle U=R_{1}\times I_{1}\;$, donc :

$R_{1}\times I_{1}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}}}\times I\;$

• On simplifie par $\scriptstyle R_{1}\;$ :

$I_{1}={\frac {1}{1+{\frac {R_{1}}{R_{2}}}+{\frac {R_{1}}{R_{3}}}}}\times I\;$ ou alors $I_{1}={\frac {R_{2}R_{3}}{R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}}\times I\;$

 

Démonstration avec les conductances

• Sur le même principe que pour les résistances, on déduit la conductance équivalente, pour trois conductances en parallèle, qui est égale à :

$G_{eq}=G_{1}+G_{2}+G_{3}$

• On se retrouve donc avec une conductance ($\scriptstyle G_{eq}\;$) traversée par le courant $\scriptstyle I\;$, avec la tension $\scriptstyle U\;$ appliquée à ses bornes. D'après la loi d'Ohm :

$U={\frac {I}{G_{eq}}};$

• Soit :

$U={\frac {1}{G_{1}+G_{2}+G_{3}}}\times I\;$

• Sur le montage ci-dessus et d’après la loi d'Ohm pour les conductances, on trouve que $\textstyle U={\frac {I_{1}}{G_{1}}}\;$, donc :

${\frac {I_{1}}{G_{1}}}={\frac {1}{G_{1}+G_{2}+G_{3}}}\times I\;$

• On simplifie par $\scriptstyle G_{1}\;$ :

$I_{1}={\frac {G_{1}}{G_{1}+G_{2}+G_{3}}}\times I\;$

 

En courant sinusoïdal

Le même raisonnement peut s'appliquer pour un ensemble d'impédances en parallèle à condition de remplacer les conductances $G$ par les admittances complexes ${\underline {Y}}$ et de remplacer les intensités $I$ et $I_{2}$ par les nombres complexes associés ${\underline {I}}$ et ${\underline {I}}_{2}$ (voir transformation complexe).