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Exercice : Calcul de moments d'inertieMécanique du solide/Exercices/Calcul de moments d'inertie », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Moment d'inertie d'une boule homogène
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On considère une boule sphérique de masse
m
{\displaystyle m}
, de masse volumique
ρ
{\displaystyle \rho }
homogène. On donne deux méthodes pour calculer J, son moment d'inertie par rapport à tout axe passant par le centre.
C'est la plus simple, elle utilise les symétries de la sphère.
Comme
J
O
X
=
J
O
y
=
J
O
z
=
J
{\displaystyle J_{OX}=J_{Oy}=J_{Oz}=J}
on peut affirmer que :
3
J
=
ρ
∫
V
(
x
2
+
y
2
)
d
V
+
ρ
∫
V
(
z
2
+
y
2
)
d
V
+
ρ
∫
V
(
x
2
+
z
2
)
d
V
=
ρ
∫
V
2
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
d
V
=
2
ρ
∫
V
(
r
2
)
d
V
{\displaystyle 3J=\rho \int _{V}(x^{2}+y^{2})\,\mathrm {d} V+\rho \int _{V}(z^{2}+y^{2})\,\mathrm {d} V+\rho \int _{V}(x^{2}+z^{2})\,\mathrm {d} V=\rho \int _{V}2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,\mathrm {d} V=2\rho \int _{V}(r^{2})\,\mathrm {d} V}
où
r
{\displaystyle r}
est la distance du point
M
{\displaystyle M}
à l'origine.
Donc :
3
J
=
2
ρ
∫
V
(
r
2
)
d
V
{\displaystyle 3J=2\rho \int _{V}(r^{2})\,\mathrm {d} V}
3
J
=
2
ρ
∫
r
r
2
(
∫
S
d
S
)
d
r
{\displaystyle 3J=2\rho \int _{r}r^{2}\ (\int _{S}\,\mathrm {d} S)\mathrm {d} r}
3
J
=
2
×
4
π
ρ
∫
r
r
4
d
r
{\displaystyle 3J=2\times 4\pi \rho \int _{r}r^{4}\mathrm {d} r}
3
J
=
2
×
4
π
ρ
R
5
5
{\displaystyle 3J=2\times 4\pi \rho {\frac {R^{5}}{5}}}
avec
ρ
=
m
4
3
π
R
3
{\displaystyle \rho ={\frac {m}{{\frac {4}{3}}\pi \ R^{3}}}}
3
J
=
3
2
m
R
2
5
{\displaystyle 3J=3{\frac {2mR^{2}}{5}}}
donc
J
=
2
m
R
2
5
{\displaystyle J={\frac {2mR^{2}}{5}}}
Le moment d'inertie d'une sphère massive homogène par rapport à un axe passant par le centre. Ici on se place dans un système de coordonnées où cet axe est Oz.
J
=
ρ
∫
V
(
x
2
+
y
2
)
d
V
{\displaystyle J=\rho \int _{V}(x^{2}+y^{2})\,\mathrm {d} V}
On utilise les coordonnées sphériques.
x
=
r
sin
ϑ
cos
φ
{\displaystyle x=r\sin \vartheta \cos \varphi }
y
=
r
sin
ϑ
sin
φ
{\displaystyle y=r\sin \vartheta \sin \varphi }
z
=
r
cos
ϑ
{\displaystyle z=r\cos \vartheta }
avec le volume élémentaire :
d
V
=
r
2
sin
ϑ
d
r
d
ϑ
d
φ
.
{\displaystyle \mathrm {d} V=r^{2}\sin \vartheta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \vartheta \,\mathrm {d} \varphi .}
La définition donne :
J
=
ρ
∫
0
R
d
r
∫
0
π
d
ϑ
∫
0
2
π
d
φ
r
4
sin
3
ϑ
{\displaystyle J=\rho \int _{0}^{R}\!\mathrm {d} r\,\int _{0}^{\pi }\!\mathrm {d} \vartheta \,\int _{0}^{2\pi }\!\mathrm {d} \varphi \;\;r^{4}\sin ^{3}\vartheta }
J
=
2
5
π
ρ
R
5
∫
0
π
sin
3
ϑ
d
ϑ
{\displaystyle J={\frac {2}{5}}\pi \rho R^{5}\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\vartheta \,\mathrm {d} \vartheta }
On peut intégrer le sinus par linéarisation, en utilisant :
sin
3
x
=
(
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
)
3
=
1
4
3
(
e
i
x
−
e
−
i
x
)
−
(
e
i
3
x
−
e
−
i
3
x
)
2
i
{\displaystyle \sin ^{3}x=\left({\dfrac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\right)^{3}={\dfrac {1}{4}}{\dfrac {3(e^{ix}-e^{-ix})-(e^{i3x}-e^{-i3x})}{2i}}}
D'où finalement :
sin
(
θ
)
3
=
3
sin
(
θ
)
−
sin
(
3
θ
)
4
{\displaystyle \sin(\theta )^{3}={\frac {3\sin(\theta )-\sin(3\theta )}{4}}}
Une primitive de
sin
(
θ
)
{\displaystyle \sin(\theta )}
est
−
cos
(
θ
)
{\displaystyle -\cos(\theta )}
. On a donc :
∫
0
π
d
θ
sin
3
θ
=
−
[
3
4
cos
(
θ
)
]
0
π
+
[
1
12
c
o
s
(
3
θ
)
]
0
π
=
2
×
3
4
−
2
×
1
12
=
18
−
2
12
=
4
3
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\mathrm {d} \theta \sin ^{3}\theta =-\left[{\frac {3}{4}}\cos {(\theta )}\right]_{0}^{\pi }+\left[{\frac {1}{12}}cos(3\theta )\right]_{0}^{\pi }=2\times {\dfrac {3}{4}}-2\times {\dfrac {1}{12}}={\dfrac {18-2}{12}}={\dfrac {4}{3}}}
D'où finalement :
∫
0
π
d
θ
sin
3
θ
=
4
3
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\mathrm {d} \theta \sin ^{3}\theta ={\dfrac {4}{3}}}
Intégration par changement de variable
modifier
Remarquons que :
sin
θ
d
θ
=
−
d
cos
θ
{\displaystyle \sin \theta \mathrm {d} \theta =-\mathrm {d} \cos \theta }
et que d’autre part,
sin
2
ϑ
=
1
−
cos
2
ϑ
{\displaystyle \sin ^{2}\vartheta =1-\cos ^{2}\vartheta }
.
On a donc
∫
0
π
sin
3
θ
d
θ
=
−
∫
0
π
(
1
−
cos
2
(
θ
)
)
d
cos
θ
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,\mathrm {d} \theta =-\int _{0}^{\pi }(1-\cos ^{2}(\theta ))\mathrm {d} \cos \theta }
On pose
x
=
cos
θ
{\displaystyle x=\cos \theta }
, et on change les bornes :
cos
0
→
1
{\displaystyle \cos 0\rightarrow 1}
,
cos
π
→
−
1
{\displaystyle \cos \pi \rightarrow -1}
.
D'où
∫
0
π
sin
3
θ
d
θ
=
∫
−
1
1
(
1
−
x
2
)
d
x
=
6
−
2
3
=
4
3
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,\mathrm {d} \theta =\int _{-1}^{1}(1-x^{2})\mathrm {d} x={\dfrac {6-2}{3}}={\dfrac {4}{3}}}
(même résultat)
Application au calcul du moment cinétique
modifier
Finalement, on remplace ce résultat dans l’expression suivante :
J
=
ρ
×
∫
0
R
d
r
r
4
×
∫
0
π
d
ϑ
sin
3
ϑ
×
∫
0
2
π
d
φ
{\displaystyle J=\rho \times \int _{0}^{R}\!\mathrm {d} r\,\;r^{4}\times \int _{0}^{\pi }\!\mathrm {d} \vartheta \,\sin ^{3}\vartheta \times \int _{0}^{2\pi }\!\mathrm {d} \varphi \;}
Avec :
ρ
=
M
4
3
π
R
3
{\displaystyle \rho ={\dfrac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}}
∫
0
R
r
4
d
r
=
R
5
5
{\displaystyle \int _{0}^{R}r^{4}\mathrm {d} r={\dfrac {R^{5}}{5}}}
∫
0
π
sin
3
θ
d
θ
=
4
3
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \mathrm {d} \theta ={\dfrac {4}{3}}}
∫
0
2
π
d
φ
=
2
π
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi =2\pi }
Et on obtient :
J
=
M
4
3
π
R
3
×
R
5
5
×
4
3
×
2
π
=
2
M
R
2
5
{\displaystyle J={\dfrac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}\times {\frac {R^{5}}{5}}\times {\frac {4}{3}}\times 2\pi ={\dfrac {2MR^{2}}{5}}}
Moment d'inertie d'une sphère creuse homogène
modifier
On considère une sphère creuse de masse
m
{\displaystyle m}
, de masse surfacique
σ
{\displaystyle \sigma }
homogène.
On donne deux méthodes pour calculer
J
{\displaystyle J}
, son moment d'inertie par rapport à tout axe passant par le centre.
C'est la plus simple, elle utilise les symétries de la sphère.
Comme
J
O
X
=
J
O
y
=
J
O
z
=
J
{\displaystyle J_{OX}=J_{Oy}=J_{Oz}=J}
on peut affirmer que :
3
J
=
σ
∫
S
(
x
2
+
y
2
)
d
S
+
σ
∫
S
(
z
2
+
y
2
)
d
S
+
σ
∫
S
(
x
2
+
z
2
)
d
S
=
2
σ
∫
S
(
r
2
)
d
S
{\displaystyle 3J=\sigma \int _{S}(x^{2}+y^{2})\,\mathrm {d} S+\sigma \int _{S}(z^{2}+y^{2})\,\mathrm {d} S+\sigma \int _{S}(x^{2}+z^{2})\,\mathrm {d} S=2\sigma \int _{S}(r^{2})\,\mathrm {d} S}
où
r
{\displaystyle r}
est la distance du point
M
{\displaystyle M}
à l'origine, qui est constante sur la sphère.
Donc :
3
J
=
2
σ
∫
S
(
r
2
)
d
S
{\displaystyle 3J=2\sigma \int _{S}(r^{2})\,\mathrm {d} S}
3
J
=
2
σ
r
2
(
∫
S
d
S
)
{\displaystyle 3J=2\sigma r^{2}\ (\int _{S}\,\mathrm {d} S)}
3
J
=
2
r
2
×
m
{\displaystyle 3J=2r^{2}\times m}
donc :
J
=
2
m
R
2
3
{\displaystyle J={\frac {2mR^{2}}{3}}}
Le moment d'inertie d'une surface sphérique homogène, de rayon
R
{\displaystyle R}
, calculé par rapport à un axe passant par le centre
de cette sphère, se calcule de la même manière que celui d'une sphère pleine et homogène.
Ici on se place dans un système de coordonnées où cet axe est Oz.
J
=
ρ
∫
V
(
x
2
+
y
2
)
d
V
{\displaystyle J=\rho \int _{V}(x^{2}+y^{2})\,\mathrm {d} V}
On utilise les coordonnées sphériques.
x
=
r
sin
θ
cos
ϕ
{\displaystyle x=r\sin \theta \cos \phi }
y
=
r
sin
θ
sin
ϕ
{\displaystyle y=r\sin \theta \sin \phi }
z
=
r
cos
θ
{\displaystyle z=r\cos \theta }
L'élément différentiel de surface sur cette sphère est, à la distance R du centre, est :
d
S
=
R
2
sin
θ
d
θ
d
ϕ
{\displaystyle \mathrm {d} S=R^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi }
La distance à l'axe Oz est, avec les définitions précédentes,
Δ
z
(
r
,
θ
,
φ
)
=
r
sin
θ
{\displaystyle \Delta _{z}(r,\theta ,\varphi )=r\sin \theta }
La densité surfacique est
σ
=
M
4
π
R
2
{\displaystyle \sigma ={\dfrac {M}{4\pi R^{2}}}}
.
La définition donne :
J
=
σ
∬
d
S
Δ
z
2
(
R
,
θ
,
φ
)
{\displaystyle J=\sigma \iint \mathrm {d} S\Delta _{z}^{2}(R,\theta ,\varphi )}
D'où, en substituant avec les grandeurs sus-nommées :
J
=
M
4
π
R
2
R
4
∫
0
π
d
θ
sin
3
θ
∫
0
2
π
d
ϕ
{\displaystyle J={\dfrac {M}{4\pi R^{2}}}R^{4}\int _{0}^{\pi }\!\mathrm {d} \theta \sin ^{3}\theta \,\int _{0}^{2\pi }\!\mathrm {d} \phi \;\;}
D'autre part, nous avons vu précédemment que
∫
0
π
sin
3
d
θ
=
4
3
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\mathrm {d} \theta ={\dfrac {4}{3}}}
.
D'où finalement :
J
=
M
R
2
2
4
3
=
2
M
R
2
3
{\displaystyle J={\dfrac {MR^{2}}{2}}{\dfrac {4}{3}}={\dfrac {2MR^{2}}{3}}}