Mécanique du solide/Exercices/Calcul de moments d'inertie

Calcul de moments d'inertie
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Exercices no1
Leçon : Mécanique du solide

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Étude d'un anémomètre
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Mécanique du solide/Exercices/Calcul de moments d'inertie
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Moment d'inertie d'une boule homogène

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On considère une boule sphérique de masse  , de masse volumique   homogène. On donne deux méthodes pour calculer J, son moment d'inertie par rapport à tout axe passant par le centre.

Méthode 1

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C'est la plus simple, elle utilise les symétries de la sphère.

Comme  

on peut affirmer que :

 

  est la distance du point   à l'origine.

Donc :

 

 


 


 

avec  

 

donc

 

Méthode 2

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Le moment d'inertie d'une sphère massive homogène par rapport à un axe passant par le centre. Ici on se place dans un système de coordonnées où cet axe est Oz.

 

On utilise les coordonnées sphériques.

 
 
 

avec le volume élémentaire :

 


La définition donne :

 


 


Intégration par linéarisation

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On peut intégrer le sinus par linéarisation, en utilisant :

 

D'où finalement :

 

Une primitive de   est  . On a donc :

 

D'où finalement :

 

Intégration par changement de variable

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Remarquons que :

 

et que d’autre part,

 .

On a donc

 

On pose  , et on change les bornes :  ,  .

D'où

 

(même résultat)

Application au calcul du moment cinétique

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Finalement, on remplace ce résultat dans l’expression suivante :

 

Avec :

  •  
  •  
  •  
  •  

Et on obtient :

 

Moment d'inertie d'une sphère creuse homogène

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On considère une sphère creuse de masse  , de masse surfacique   homogène.

On donne deux méthodes pour calculer  , son moment d'inertie par rapport à tout axe passant par le centre.

Méthode 1

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C'est la plus simple, elle utilise les symétries de la sphère.

Comme  

on peut affirmer que :

 

  est la distance du point   à l'origine, qui est constante sur la sphère.

Donc :

 

 


 

donc :

 

Méthode 2

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Le moment d'inertie d'une surface sphérique homogène, de rayon  , calculé par rapport à un axe passant par le centre de cette sphère, se calcule de la même manière que celui d'une sphère pleine et homogène.

Ici on se place dans un système de coordonnées où cet axe est Oz.

 

On utilise les coordonnées sphériques.

  •  
  •  
  •  

L'élément différentiel de surface sur cette sphère est, à la distance R du centre, est : 

La distance à l'axe Oz est, avec les définitions précédentes,  

La densité surfacique est  .

La définition donne :  

D'où, en substituant avec les grandeurs sus-nommées :  

D'autre part, nous avons vu précédemment que  .

D'où finalement :