Mécanique du solide/Exercices/Étude d'un anémomètre
Étude d'un anémomètre
modifierDans un anémomètre, l’ensemble mobile (S), en rotation autour de l'axe vertical ascendant Oz du repère galiléen orthonormé direct = (Oxyz), est constitué d'un rotor et de trois pales identiques disposées à 120° l'une de l'autre (figures 1 et 2).
Figure 1 (perspective) | Figure 2 (dans le plan Oxy) |
Le rotor est un cylindre, d'axe Oz, de rayon a et de centre d’inertie O.
Chaque pale est constituée d'une tige et d'une plaque. La figure 1 montre, en perspective, l'une d'elles qui est constituée par :
- une tige AB contenue dans le plan Oxy, de longueur a, soudée en A au rotor dans le prolongement du rayon OA (ainsi ) ;
- une plaque , homogène, carrée de côté 2a, soudée à la tige en B ; les cotés et sont parallèles à la tige et les cotés et , de milieux respectifs B et C, sont verticaux.
On note :
- M la masse totale de l’ensemble (S),
- l'accélération de la pesanteur (g constante positive),
- , ) l'angle définissant la position de (S) par rapport à ,
- et
- J le moment d'inertie de l’ensemble mobile (S) par rapport à l'axe Oz.
La rotation de l’ensemble mobile est provoquée par un jet de fluide situé sur la droite x=2a du plan Oxy et orienté vers les y croissants. L'action de ce jet sur la plaque est représentée, pour par une force aérodynamique :
s'appliquant au point M d'impact du jet sur cette plaque (cf. figure 2). F0 et λ sont des constantes positives.
Il est tenu compte du frottement de (S) sur l'axe Oz selon 4 hypothèses :
- (H1) pas de frottement ;
- (H2) frottement solide : le moment en O de l'action de l'axe Oz sur (S) (action de liaison) est
- où f est une constante positive (coefficient de frottement solide) ;
- (H3) frottement visqueux : le moment en O de l'action de l'axe Oz sur (S) (action de liaison) est
- où α est une constante positive (coefficient de frottement visqueux).
- (H4) frottement solide (H2) et frottement visqueux (H3) : le moment en O de l'action de l'axe Oz sur (S) (action de liaison) est .
- 1. a. Calculer le moment en O de la force aérodynamique pour par une force aérodynamique .
- b. Montrer que ce moment est indépendant de la position de l’ensemble mobile (S).
- 2. a. Montrer que le centre d'inertie de l’ensemble mobile (S) est en O.
- b. Déterminer la force la résultante de l'action de l'axe Oz sur (S) (action de liaison) pour par une force aérodynamique .
- c. Représenter graphiquement la variation de la composante Rx de sur en fonction de θ pour une rotation de (S) d'un tour complet.
- 3. On se place dans l'hypothèse (H3).
- Déterminer l’expression de la vitesse angulaire en prenant comme condition initiale .
- 4. On se place dans l’hypothèse (H4).
- a. Établir l'équation différentielle vérifiée par .
- b. Les conditions initiales du mouvement sont : . Quelle condition, dépendant de λ et
- , doit satisfaire le coefficient de frottement f pour qu’il y ait mise en mouvement de (S) ? Discuter cette
- condition quand θ varie de par une force aérodynamique .
- 5. Calculer la variation de pour une rotation d'un tour complet de l’ensemble mobile (S).
- a. dans l'hypothèse (H1) (pas de frottement) ;
- b. dans l'hypothèse (H2) (frottement solide seul).
1. a.
b. Pour ne dépend pas de ; pour et une autre pale reçoit le jet mais le moment de la force aérodynamique est le même.
2. a. Oz est axe de symétrie d'ordre 3 pour (S) et Oxy est plan de symétrie pour (S), le centre d'inertie de (S) appartient donc à la fois à Oz et Oxy, c’est le point O.
b. TRC pour (S) :
c. Pour ; par symétrie est une fonction de période .
3. TMC par rapport à l'axe Oz appliqué à (S) : .
Solution vérifiant
La vitesse de rotation atteint la valeur limite en un temps caractéristique .
4. a. TMC par rapport à l'axe Oz appliqué à (S) : .
b. Mise en mouvement si .
Pour , la condition est vérifiée quel que soit f ; elle est d'autant plus contraignante que est
grand ; elle est vérifiée quel que soit si .
5. a. (intégration par rapport au temps) + constante.
La variation de lorsque varie de est donc : .
b. ; attention cette équation n'est valable que pour , de plus la valeur absolue oblige à séparer les cas et .
Pour : la multiplication par intégration par rapport au temps conduit à :
- + constante ; il vient pour variant de 0 à :
Pour , il vient de même que + constante et :
Par symétrie du dispositif :
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