Mécanique du solide/Exercices/Mouvement d'un clown sur un ballon

Mouvement d'un clown sur un ballon

Le référentiel terrestre ${\mathcal {R}}$ est supposé galiléen. On le rapporte à un repère orthonormé direct (Oxyz) tel que l'axe Oz est vertical ascendant. L'accélération de la pesanteur est ${\overrightarrow {g}}=-g{\overrightarrow {u_{z}}}$.

Un ballon sphérique rigide a un rayon R, une masse m uniformément répartie en surface et un moment d'inertie $J={\frac {2}{3}}mR^{2}$ par rapport à tout axe passant par son centre. Il roule sans glisser sur le sol horizontal de sorte que son centre C reste dans le plan Ozx.

Le coefficient de frottement de glissement au contact entre le ballon et le sol est f. Ce coefficient caractérise l'action de contact du sol sur le ballon. Cette action se réduit à une force inconnue ${\overrightarrow {R}}=R_{x}{\overrightarrow {u_{x}}}+R_{z}{\overrightarrow {u_{z}}}$ appliquée en I. Si $|R_{x}|\,<fR_{z}$ le ballon ne glisse pas sur le sol ; si le ballon glisse alors : $|R_{x}|\,=fR_{z}$.

Un clown a ses pieds en un point A du ballon situé dans le plan Ozx et tel que la droite CA fasse un angle α donné et constant avec la verticale (cf. figure). Le clown, de centre de masse H, marche ou court à petits pas sur le ballon en direction de son point le plus haut ; il fait en sorte qu’à tout instant la droite instantanée CA fasse l'angle α avec la verticale et la droite AH soit constamment verticale (cf. figure). On donne : $AH=2R$. Le clown est assimilé à un solide de masse M en mouvement de translation dans ${\mathcal {R}}$ ; on néglige ainsi l'inertie des parties mobiles du clown dans sa marche ou sa course petits pas.

On appelle ${\mathcal {S}}$ le système matériel constitué par le clown et le ballon.

Notations : la vitesse du centre C du ballon dans le référentiel ${\mathcal {R}}$ est notée ${\overrightarrow {v}}_{C}=v(t){\overrightarrow {u_{x}}}$ et son vecteur rotation dans ${\mathcal {R}}$ est noté $\omega _{ballon}=\omega (t){\overrightarrow {u_{y}}}$.

Partie A — Cinématique et cinétique

1.a. Quelles sont la vitesse ${\overrightarrow {V}}_{h}$ et l'accélération ${\overrightarrow {a}}_{H}$ de H dans ${\mathcal {R}}$ ?

2. Quelle est la relation traduisant le roulement sans glissement du ballon sur le sol ?

3. Exprimer la vitesse du clown par rapport à la surface du ballon soit ${\overrightarrow {V}}={\overrightarrow {v}}_{A\in clown}-{\overrightarrow {v}}_{A\in ballon}$.

4.a. Quel est, dans ${\mathcal {R}}$, le moment cinétique ${\overrightarrow {L}}_{C,ballon}$ du ballon en son centre C ? On exprimera ${\overrightarrow {L}}_{C,ballon}$ en fonction de m, R et v.

b. En déduire le moment cinétique ${\overrightarrow {L}}_{I,ballon}$ dans ${\mathcal {R}}$ du ballon au point de contact avec le sol I.

5.a. Quel est, dans ${\mathcal {R}}$, le moment cinétique ${\overrightarrow {L}}_{H,clown}$ du clown en H ? En déduire, dans ${\mathcal {R}}$, le moment cinétique ${\overrightarrow {L}}_{I,clown}$ du clown en I.

b. Exprimer en fonction de R, v, m, M et α le moment cinétique total ${\overrightarrow {L}}_{I,S}$ du système S en I, dans le référentiel ${\mathcal {R}}$.

Partie B — Dynamique

1. Faire le bilan des actions mécaniques extérieures appliquées au système S. Ces actions sont-elles connues ou inconnues ?

2.a. Écrire le théorème de Koœnig donnant le moment cinétique ${\overrightarrow {L}}_{I,S}$. En déduire que : ${\frac {d{\overrightarrow {L}}_{I,S}}{dt}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{l,ext\to S}$ où ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{l,ext\to S}$ désigne le moment, pris en I, de toutes les actions extérieures appliquées à S. Pouviez-vous écrire directement cette relation ?

b. Montrer que : ${\frac {dv}{dt}}={\frac {Mg\sin \alpha }{{\frac {5}{3}}m+M(3+\cos \alpha )}}$

c. Calculer numériquement $a={\frac {dv}{dt}}$ pour M = 60 kg ; m = 6 kg R = 0,5 m ; α = 5° ; g = 9,8 m.s^-2.

3.a. Calculer littéralement (en fonction de M, m, g et a) puis numériquement les composantes R_x et R_z de la réaction ${\overrightarrow {R}}$ du sol sur le ballon.

b. Montrer que f = 0,2 il ne peut y avoir glissement ni au départ, ni en un instant ultérieur.

4. Le clown ne peut courir à petits pas à plus de V_max = 2 m.^-1 par rapport à la surface du ballon. Initialement le clown et le ballon sont immobiles. Au bout de quel temps T cette vitesse est-elle atteinte ? Quelle est la distance L parcourue par le ballon ? On demande pour T et L les expressions littérales (en fonction de V_max et de a) et les valeurs numériques.

Partie C — Statique et dynamique sur un plan incliné

Le ballon est désormais sur une planche inclinée d'un angle β par rapport au sol. Le clown est toujours vertical : AH est orthogonal au sol. Le clown marche ou court à petit pas pour maintenir l'angle algébrique entre les vecteurs ${\overrightarrow {IC}}$ et ${\overrightarrow {CA}}$ constamment égal à α.

On admet que la démarche menée dans les parties A et B conduit, dans ce cas, au résultat suivant :

${\frac {dv}{dt}}={\frac {mg\sin \beta +Mg(\sin(\alpha +\beta )+\sin \beta )}{{\frac {5}{3}}m+M(1+\cos \alpha +2\cos \beta )}}$

en notant ${\overrightarrow {v}}_{C}=v(t){\overrightarrow {u_{x'}}}$ et ${\overrightarrow {u_{x'}}}$ un vecteur unitaire de la ligne de plus grande pente de la planche inclinée dirigé vers le bas (cf. figure).

1. Commenter ce résultat en le comparant à celui de la question 2.b. de la partie B.

2. Clown en équilibre :

a. Montrer que, pour une valeur particulière de α dépendant de l'angle β, l'équilibre du système clown-ballon est possible.

b. Quelle est la condition sur β pour que le glissement en I ne s'amorce pas ? Faire l’application numérique en prenant f = 0, 2.

c. Calculer numériquement α à l'équilibre pour β = 5°.

3. Mouvement descendant : Le système clown-ballon descend le plan incliné. Initialement le ballon et le clown sont immobiles. On prend α = β = 5°.

a. Calculer numériquement $a={\frac {dv}{dt}}$ puis la distance parcourue quand le clown atteint la vitesse limite, par rapport au ballon, de 2 m.s^-1.

b. Comparer au résultat de la question 4.

4. Mouvement ascendant : Le clown veut avoir un mouvement ascendant, c'est-à-dire remonter la pente $Ox'$.

a. Montrer que α doit satisfaire à une inégalité, dépendant de β. Si β = 5°, la valeur α = −15° est-elle satisfaisante ? Calculer numériquement $a={\frac {dv}{dt}}$ dans ce cas.

b. Calculer, littéralement et numériquement, les composantes R_x et R_z de la réaction ${\overrightarrow {R}}$ du sol sur le ballon et vérifier que le glissement ne peut s'amorcer si f = 0, 2.

c. Quelle longueur le ballon peut-il parcourir avant que le clown perde l'équilibre ? À quelle hauteur cela correspond-il ?

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}