Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Annexe/Vecteurs moment et torseurs

Savoirs techniques

Connaissances (notions, concepts)	Niveau
	1	2	3	4
Actions mécaniques sur un solide : modélisation des actions mécaniques : le vecteur moment torseurs d'action mécaniques (écriture seule)		×
Actions mécaniques dans les liaisons : torseur des actions mécaniques transmissibles		×

Vecteur moment

Règle de la main droite

Lorsque le problème est symétrique par rapport au plan $(\mathrm {O} ,{\vec {x}},{\vec {y}})$, on est en présence d'un problème plan. Les moments par rapport à un pivot — couple transmis par un organe, moment d'une force — est un nombre qui peut être positif ou négatif, selon que le moment fait tourner dans le sens direct ou indirect. « Tourner », « rotation » sont à prendre au sens large : il peut s'agir de faire tourner une pièce ou de la déformer (flexion, torsion).

Dans l'espace, un moment peut faire tourner autour d'un axe quelconque. Pour le modéliser, il faut donc utiliser un objet mathématique qui décrive l'intensité mais aussi l'axe et le sens de rotation : un vecteur.

La direction du vecteur moment est l'axe de rotation. Le sens du vecteur indique dans quel sens se fait la rotation, selon la règle de la main droite.

Habituellement, les vecteurs moment se représentent avec un trait double « ⇒ ».

Isolement d'une clef plate : si les forces et les bras de levier sont dans le plan $(\mathrm {O} ,{\vec {x}},{\vec {y}})$, alors les moments sont d'axe ${\vec {z}}$.

Le vecteur moment d'un couple transmis par un arbre a pour direction l'axe de l'arbre.

Dans le cas du moment d'une force, le vecteur moment de la force par rapport à un point est perpendiculaire au vecteur force et au vecteur bras de levier. Ainsi, dans le cas des problèmes symétriques par rapport au plan $(\mathrm {O} ,{\vec {x}},{\vec {y}})$, les vecteurs force et les bras de levier sont dans ce même plan ; les vecteurs moment sont nécessairement perpendiculaires à ce plan, donc selon l'axe ${\vec {z}}$.

Engrenage à axes sécants (dentures coniques)

Prenons l'exemple d'un engrenage à axes sécants (roues à dentures conique) : un couple s'exerce selon l'axe ${\vec {x}}$, et l'autre selon l'axe ${\vec {y}}$. On repère :

1. Axe de la roue rep. 2.
2. Roue conique.
3. Roue conique.
4. Axe de la roue rep. 3.

Isolement de la roue 2 (haut, gauche), de la roue 3 (bas, gauche) et de l'engrenage 2+3 (droite).

Isolons la roue rep. 2. Elle est soumise à l'action de son axe 1, qui comprend :

• le couple moteur ${\vec {\mathrm {M} }}_{1/2}$ ;
• la force au point A qui empêche la roue de partie, ${\vec {\mathrm {A} }}_{1/2}$.

Elle est aussi soumise à l'action de contact de la roue rep. 3 au point B, qui s'oppose au mouvement : ${\vec {\mathrm {B} }}_{3/2}$.

Isolons la roue rep. 3. Elle est soumise à l'action de son axe 4, qui comprend :

• le couple résistant ${\vec {\mathrm {M} }}_{4/3}$ ;
• la force au point C qui empêche la roue de partie, ${\vec {\mathrm {C} }}_{4/3}$.

Elle est aussi soumise à l'action de contact de la roue rep. 2 au point B, qui s'oppose au mouvement : ${\vec {\mathrm {B} }}_{2/3}$.

On voit que les vecteurs moment ${\vec {\mathrm {M} }}_{1/2}$ et ${\vec {\mathrm {M} }}_{4/3}$ sont sur des axes perpendiculaires.

Prise une par une, les roues peuvent se traiter par un problème plan

Notons que chacune des roues, prise individuellement, peut s'étudier comme un problème plan.

Isolement de l'engrenage {2 ; 3}. Sur la figure de droite, le couple de forces $({\vec {\mathrm {A} }}_{1/2},{\vec {\mathrm {C} }}_{4/3})$ est remplacé par un vecteur moment ${\vec {\mathrm {M} }}_{\mathrm {C} }$

Isolons l'engrenage {2 ; 3}. Il est soumis à l'action :

• de l'axe 1, qui comprend ${\vec {\mathrm {M} }}_{1/2}$ et ${\vec {\mathrm {A} }}_{1/2}$ ;
• de l'axe 4, qui comprend ${\vec {\mathrm {M} }}_{4/3}$ et ${\vec {\mathrm {C} }}_{4/3}$.

On peut remplacer le couple formé des forces $({\vec {\mathrm {A} }}_{1/2},{\vec {\mathrm {C} }}_{4/3})$ par un vecteur moment ${\vec {\mathrm {M} }}_{\mathrm {C} }$ ; ce vecteur est orienté selon la bissectrice des axes.

Si l’on applique le principe fondamentale de la statique (PFS), le théorème du moment statique prend une forme vectorielle :

$\sum {\vec {\mathrm {M} }}_{\mathrm {ext} }={\vec {0}}$

soit ici

${\vec {\mathrm {M} }}_{1/2}+{\vec {\mathrm {M} }}_{4/3}+{\vec {\mathrm {M} }}_{\mathrm {C} }={\vec {0}}$.

Torseur d'action transmissible

On a vu que certaines liaisons mécaniques pouvaient transmettre à la fois une force et un moment (voir Moment transmis par contact). Dans l'exemple ci-dessus, l'axe et la roue sont liés par une liaison encastrement (voir Montage d'un pignon sur un arbre claveté), cette liaison transmet bien une force et un moment.

Un torseur d'action est l’ensemble formé par le vecteur force et le vecteur moment. Par exemple, le torseur d'action que l'axe rep. 1 exerce sur la roue rep. 2 est noté $\{{\mathcal {T}}_{1/2}\}$

$\{{\mathcal {T}}_{1/2}\}=\!{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}_{\mathrm {A} }{\begin{Bmatrix}{\vec {\mathrm {A} }}_{1/2}\\{\vec {\mathrm {M} }}_{1/2}\end{Bmatrix}}$

Notons :

• le torseur est noté entre accolades {…} ;
• le point de centre de la liaison, A, est indiqué en bas à gauche ;
• on indique d’abord la force, en haut, puis le moment, en dessous.

On utilise un vocabulaire particulier pour les torseurs :

• le vecteur force est appelé « résultante » et est parfois noté ${\vec {\mathrm {R} }}_{1/2}$, soit
  $\{{\mathcal {T}}_{1/2}\}=\!{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}_{\mathrm {A} }{\begin{Bmatrix}{\vec {\mathrm {R} }}_{1/2}\\{\vec {\mathrm {M} }}_{1/2}\end{Bmatrix}}$ ;
• une force seule est un torseur dont le moment est nul ; un tel torseur $\{{\mathcal {T}}_{1/2}\}=\!{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}_{\mathrm {A} }{\begin{Bmatrix}{\vec {\mathrm {R} }}_{1/2}\\{\vec {0}}\end{Bmatrix}}$ est appelé « glisseur » ;
• un moment seul est un torseur dont la résultante (force) est nulle ; un tel torseur $\{{\mathcal {T}}_{1/2}\}=\!{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}_{\mathrm {A} }{\begin{Bmatrix}{\vec {0}}\\{\vec {\mathrm {M} }}_{1/2}\end{Bmatrix}}$ est appelé « torseur couple ».