Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Exercices/Géométrie

Géométrie pour la mécanique (enseignement technique)
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Exercices no1
Leçon : Mécanique pour l'enseignement technique industriel
Chapitre du cours : Éléments de géométrie

Exercices de niveau 12.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Liaisons mécaniques
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Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Exercices/Géométrie
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Arc de cercleModifier

Freinage d'un convoi ferroviaireModifier

 
Annale de sujet d'examen
Cet exercice est tombé BTS CPI en 1993.

Le cahier des charges du constructeur impose un freinage du convoi roulant à 80 km/h de 180 m sur une voie horizontale et sèche.

Hypothèse
Lors du freinage, il y a roulement sans glissement des roues sur le rail.
Donnée
  • Diamètre de la roue : 800 mm.
Question
Déterminer l'amplitude de rotation d'une roue pendant la phase de freinage, exprimée en nombre de tours et en radians.

Enrouleur de câbleModifier

On désire enrouler un câble de 200 m sur un tambour de diamètre 1 500 mm. Combien faut-il de tour de tambour, en considérant que le diamètre d'enroulement est toujours le même ? Quel angle en radians cela représente-t-il ?

Vérin rotatifModifier

 
Principe du vérin rotatif ; pour des raisons de simplicité, on ne représente pas toutes les dents mais on utilise un trait mixte (tiret long-tiret court) à la place.
 
Système pignon-crémaillère

Un vérin rotatif est basé sur un système pignon-crémaillère :

  • un piston entraîne le déplacement linéaire d'une crémaillère ;
  • la crémaillère entraîne la rotation du pignon.

Le pignon a un diamètre primitif de 25 mm[1]. Quelle doit être l'avance du piston pour que le pignon fasse une rotation de 30° ?

Relations dans le triangle rectangleModifier

Passerelle métalliqueModifier

 
passerelle métallique

On veut construire une passerelle ayant la forme d’un parallélépipède rectangle (forme d’une « brique »), à partir d’un cadre rectangulaire de quatre poutres supporté par quatre poteaux, selon le plan indiqué sur la figure ci-contre.

On envisage de mettre des raidisseurs en diagonale des côtés. Il faut calculer la longueur des raidisseurs afin de commander les matériaux.

Déterminer les longueurs OA et BC.

Pompe à pistons axiauxModifier

 
Pièces principales d'une pompe à pistons axiaux

Une pompe à piston axiaux est utilisée pour les circuits hydrauliques, par exemple pour alimenter un vérin. Les pièces principales sont :

  1. le plateau cyclique ;
  2. les pistons, liés par une rotule avec le plateau cyclique ;
  3. le barillet, comprenant des alésages[2] dans lesquels coulissent les pistons (chambres).
 
Pistons représentés en position haute et basse ; l'amplitude de déplacement L du piston dans la chambre dépend de l'angle θ que font les axes de rotation et du rayon r

Le moteur entraîne le plateau cyclique et les pistons. Les pistons entraînent le barillet en rotation. Comme l'axe du barillet et du plateau cyclique font un angle, la base des pistons s'éloignent et se rapprochent du barillet. Ce mouvement d'aller-retour des pistons dans les alésages provoquent l'aspiration et le refoulement de l'huile.

L'amplitude L du mouvement dépend :

  • de l'angle θ que fait l'axe du plateau cyclique avec l'axe du barillet ;
  • de la distance r de l'axe de l'alésage avec l'axe du barillet.

Si la distance r vaut 100 mm et que l'angle θ est de 30°, calculer l'amplitude L ?

Foret étagéModifier

 
Foret étagé

Un outilleur doit affûter un foret étagé ; cet outil permet de faire un trou et un fraisurage[3] dans la même opération. Le bureau d'étude lui a fourni les cotes fonctionnelles, c'est-à-dire les longueurs des parties cylindriques ; mais pour régler sa machine, l'outilleur a besoin des hauteurs des parties coniques, que l’on appelle a et b.

 
Analyse géométrique du problème

Pour résoudre ce problème, il faut considérer les demi-cônes : sur le plan, on a des triangles rectangles dont on connaît un des angles (la moitié de l'angle au sommet du cône).

Détermination de a

Pour la partie tronconique[4], on a donc un triangle rectangle ABC rectangle en C, dont la longueur du côté AC est la différence des rayons des cylindres (c'est un transfert de cotes).

 .

Calculer AC, et en déduire a.

Détermination de b

En suivant la même démarche, déterminer DF, puis b.

 
Forets étagés

VecteursModifier

Approche graphiqueModifier

Matériel requis :

  • règle graduée ;
  • équerre ;
  • rapporteur d'angle ;
  • calculatrice ;
  • crayon à papier et stylographe.

Personne dans un trainModifier

Note
Il s'agit de refaire, de manière légèrement différente, la construction vue en cours, si possible sans l'aide du professeur.
 
Personne dans un train : cliquer pour télécharger et imprimer à l'échelle 1.

L’image ci-dessus représente une personne dans un train dans trois situations :

  • haut : Train (repère 1) à l’arrêt, la personne (repère 2) marche :   ;
  • milieu : Train rep. 1 en marche, personne rep. 2 immobile :   ;
  • bas : Train rep. 1 en marche, la personne rep. 2 marche :   ;

Il se passe une seconde (1 s) entre l’image en traits pleins et l’image en pointillés.

Travail demandé
  1. Pour chaque situation, tracer le vecteur vitesse (en m/s) de la personne.
  2. Déterminer les caractéristiques des vecteurs vitesse et remplir le tableau ci-dessous.
  3. Vérifier la composition des vitesses :  .
Caractéristiques des vecteurs vitesse
Nom Direction Sens Norme
 
 
 

Chasse à l'arcModifier

 
Chasse à l'arc en char.

Un chasseur monté sur un char désire abattre un animal avec son arc. Les chevaux galopent à une vitesse de 30 km/h. Lorsque le chasseur tire, la flèche part à l'horizontale avec une vitesse initiale de100 km/h par rapport au chasseur. On s'intéresse à la vitesse au moment où la flèche quitte l'arc, on ne prend donc pas en compte le vent et le freinage par l'air.

 
Vue de dessus ; cliquer pour télécharger et imprimer à l'échelle 1.
Travail demandé

Pour chacune des trois situations ci-contre, tracer les vecteurs vitesse :

  •   du char rep. 1 par rapport au sol rep. 0 ;
  •   de la flèche rep. 2 par rapport au char rep. 1 ;
  •   de la flèche rep. 2 par rapport au sol rep. 0 ;

en appliquant la règle de composition des vitesses :

 .

Déterminer graphiquement les caractéristiques des vecteurs vitesse et remplir le tableau ci-dessous (les directions sont relevées au rapporteur d'angle, les longueurs à la règle graduée).

Caractéristiques des vecteurs vitesse
Cas 1 (haut)
Nom Direction Sens Norme
 
 
 
Cas 2 (milieu)
Nom Direction Sens Norme
 
 
 
Cas 3 (bas)
Nom Direction Sens Norme
 
 
 

Poulie de tyrolienneModifier

 
Tyrolienne au dessus de la forêt
 
Cliquer pour télécharger , puis imprimer à l'échelle 1

La poulie d'une tyrolienne rep. 0 est soumise à la traction de son câble de support rep. 1. Les caractéristiques de ces forces   et   sont indiquées ci-dessous.

Caractéristiques des forces
Nom Point
d'application
Direction Sens Intensité
  A ∠ 152° 900 N
  B ∠ 28° 900 N
Travail demandé
  1. Tracer la résultante des forces de traction,  .
  2. Déterminer l'échelle de représentation des vecteurs-force, et en déduire l'intensité de  .
  3. Remplir le tableau ci-dessous.
Échelle des forces : 1 mm pour …
Caractéristiques de la résultante
Nom Point
d'application
Direction Sens Intensité
  I

Approche analytiqueModifier

Usinage d'un trou oblongModifier

 
Trou oblong

Un technicien d’usinage doit écrire un programme pour réaliser un trou oblong d’un point A à un point B (voir figure 1). Il faut pour cela qu’il détermine les vecteurs déplacement de son outil :

  • vecteur   depuis l’origine pièce O jusqu’au point A ;
  • vecteur   depuis le point A jusqu’au point B.

Le programme sera du type

... initialisation : paramètres de sécurité, appel de l’outil, conditions de coupe...
N60 G0 X x1 Y y1 déplacement au point A
N70 Z0 M8 descente de l’outil
N80 G1 X x2 Y y2 déplacement de A à B
...

Pour déterminer la durée de l’usinage, il faut aussi connaître la longueur  .

  1. Dans le repère (Oxy), déterminer les coordonnées des points O, A et B ;
  2. Déterminer les composantes des vecteurs   et   ;
  3. Déterminer la longueur du vecteur  .

Aires et volumesModifier

Pompe à pistons axiauxModifier

Reprenons l'exemple de la pompe à pistons axiaux (voir ci-dessus). Cette pompe a trois pistons de diamètre 20 mm. La cylindrée est la quantité de liquide pouvant être pompée lorsque le système effectue un tour complet.

  1. Quel est le volume balayé par un piston pendant un tour ?
  2. Quelle est la cylindrée de la pompe.

On exprimera le résultat en cm3.

NotesModifier

  1. le diamètre primitif correspond au point de contact entre les dents du pignon et de la crémaillère, à environ la moitié de la hauteur de la dent ; tout se passe comme si la roue dentée était un galet de ce diamètre, roulant sans glissement
  2. perçages calibrés
  3. le fraisurage est une cavité permettant de « noyer » la tête d'une vis, déviter que la vis ne dépasse de la surface
  4. tronconique : en cône tronqué, en tronc de cône, c'est-à-dire un cône dont la pointe a été coupée