Méthodologie en sciences calculatoires/Rédaction

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La rédaction concerne la rédaction de copies — copie d'examen, de devoir sur table, de devoir à la maison ou rapport de projet — mais aussi dans le domaine professionnel la rédaction de rapports, notes de calcul, brevets, publications techniques ou scientifiques.

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Rédiger les calculs

Pour les informations à mettre sur une copie, on peut prendre comme modèle de base un devis ou une facture : on indique à chaque fois

• tout au début, de quoi il s'agit ;
• pour chaque élément, la désignation (nom de la pièce ou du service), la valeur unitaire, la quantité et le prix total ;
• à la fin, on fait un bilan.

Cependant, il ne s'agit pas d'un modèle de rédaction, un devis ou une facture n'étant pas rédigé.

La rédaction doit se faire de la manière suivante :

• indiquer en clair (en français) le nom de la loi (théorème, formule) utilisée ;
• écrire la loi de manière générale (écriture indépendante du problème présent) ;
• écrire la loi appliquée au problème, c'est-à-dire en utilisant les noms des variables définies dans l'énoncé ;
• écrire l’application numérique de la formule;
• écrire le résultat avec les unités (sauf en mathématiques).

Cela permet au correcteur de voir que vous connaissez le sujet ; et si vous faites une erreur de calcul, il pourra quand même compter des points car le raisonnement est juste.

Par ailleurs, on peut contrôler visuellement les valeurs que l’on a prises et s'apercevoir que l’on s'est éventuellement trompé de valeur, ce qui permet de rectifier les erreurs lors de la relecture. En effet, on ne va pas refaire les calculs à la relecture, mais il faut au minimum vérifier que l’on ne s'est pas trompé en recopiant, que l’on a utilisé les bonnes valeurs… Dans le domaine professionnel, cela permet à un collègue de vérifier les calculs.

Un défaut très courant consiste à ne pas indiquer le calcul fait, à la charge du correcteur de deviner. Pire, à enchaîner des calculs.

Début de l'exemple

Exemple

Énoncé

Calculer le poids d'un cylindre en acier de diamètre 20 mm, de hauteur 10 mm. On donne ρ_acier = 7,8 kg dm⁻³ et g = 9,81 m s⁻².

Rédaction incorrecte

π × 0,1² = 0,0314 × 0,1 = 0,00314 × 7,8 = 0,0245 × 9,81 = 0,24 N.

Ici, l'étudiant retranscrit ce qu’il a rentré dans sa calculatrice. Rappelons que ce qu’il y a à gauche et à droite d'un signe égal doit être… égal ; pris littéralement, par transitivité, on aurait donc π × 0,1² = 0,24 N !

Rédaction correcte

Le volume du cylindre est

V = (π × r²) × h = π × 0,1² × 0,1 = 0,003 14 dm³.

Sa masse vaut

m = ρ_acierV = 7,8 × 0,00314 = 0,0245 kg.

Son poids vaut donc

P = m × g = 0,0245 × 9,81 = 0,24 N.

On a à chaque fois :

• l'identification du calcul que l’on va faire (« le volume est », « la masse vaut », « son poids vaut donc ») ;
• une formule littérale (« V = (π × r²) × h », « m = ρ_acierV », « P = m × g ») ;
• une application numérique avec le résultat.

Fin de l'exemple

Nous avons pris ci-dessus une rédaction telle que demandée dans l'enseignement technique et technologique (en France : filière CAP, BEP, baccalauréat professionnel, ainsi que les BTS industriels). Dans des études scientifiques générales (en France : bac S, DUT, université, classes préparatoires aux écoles d'ingénieurs), on s'attache à obtenir une formule littérale (ne contenant que des lettres et aucune valeur numérique en dehors des constantes entières) et à faire l’application numérique à la fin. Par ailleurs, les calculs se font en unités internationales (il faut donc convertir les valeurs avant calcul) et en notation avec puissances de dix. L'application numérique passe par une étape de simplification avant d'entrer le calcul dans la calculatrice : simplification des fractions, sortie des valeurs évidentes des racines carrées, ce qui permet de se prémunir contre des erreurs de frappe (plus le calcul est simple, moins on risque de se tromper avec la calculatrice).

Début de l'exemple

Exemple

Énoncé

Comme ci-dessus

Rédaction littérale

Le volume du cylindre est

V = (π × r²) × h.

Sa masse vaut

m = ρ_acierV = ρ_acier × π × r² × h.

Son poids vaut donc

P = m × g = ρ_acier × π × r² × h × g

soit

P = 7,8⋅10³ × π × (10^-2)² × 10^-2 × 9,81 = 7,8⋅10^-3 × π × 9,81 = 2,4 × 10⁻¹ N = 0,24 N.

Fin de l'exemple

Présenter les résultats numériques

Aux premiers niveaux, l'énoncé indique la manière dont il faut présenter les résultats numériques et en particulier le nombre de décimales. Dans l'enseignement général, à partir d'un certain niveau (typiquement 10 ou 11), l'élève ou l'étudiant doit déterminer lui-même la manière de présenter les résultats.

La première démarche consiste à déterminer le nombre de chiffres significatifs et donc à exprimer le résultat avec des puissances de 10. En général, on utilise le même nombre de chiffres significatifs que les données, en se basant sur les données ayant le plus petit nombre de chiffres significatifs.

Début de l'exemple

Exemple

Énoncé

Comme ci-dessus

Détermination de la précision

Les données ont :

• 20 mm : 2 chiffres significatifs ;
• 10 mm : 2 chiffres significatifs ;
• ρ_acier = 7,8 kg dm⁻³ : 2 chiffres significatifs ;
• g = 9,81 m s⁻² : 3 chiffres significatifs.

On retiendra donc deux chiffres significatifs et le résultat s'exprimera :

P = 2,4 × 10⁻¹ N = 0,24 N.

Fin de l'exemple

Dans les domaines techniques et technologiques, on s'attache à donner une valeur avec une précision « habituelle ». Par exemple, les vis standard en France ont un diamètre extérieur faisant un nombre entier de millimètres. Si l’on calcule la taille d'une vis, on donne le résultat avec une précision du 1/10 de mm, puis on arrondit à la valeur entière supérieure.

Aux niveaux les plus élevés et dans le domaine professionnel, un résultat doit toujours être accompagné d'une précision. Lorsque l’on utilise les puissances de dix, la précision implicite est de plus ou moins la dernière décimale :

P = 2,4 × 10⁻¹ N se comprend : P = 2,4 × 10⁻¹ N ± 1 × 10⁻² N, ce qui peut encore s'écrire P = 0,24 N ± 0,01 N.

Pour une analyse plus précise, à partir du niveau 13 d'études générales, on attend de l'étudiant — et du professionnel — qu’il calcule la précision des résultats. Cela se fait en général par linéarisation de la formule (approximation linéaire), c'est-à-dire en faisant son développement limité au premier ordre.

On notera par ailleurs qu’à ces niveaux là, les valeurs sont systématiquement converties en unités du système international (mètre, kilogramme, seconde, ampère).

Début de l'exemple

Exemple

Énoncé

Comme ci-dessus

Calcul de la précision

À partir de la formule littérale P = ρ_acier × π × r² × h × g, avec les valeurs en uSI :

• r = 1,0 × 10⁻² m, Δr = 1 × 10⁻³ m ;
• h = 1,0 × 10⁻² m, Δh = 1 × 10⁻³ m ;
• ρ_acier = 7,8 × 10³ kg m⁻³, Δρ_acier = 1 × 10² kg m⁻³ ;
• g = 9,81 m⋅s^-2, Δg = 10⁻² m⋅s^-2.

On a la différentielle d'ordre 1

dP = (π × r² × h × g) × dρ_acier + (ρ_acier × π × h × g) × 2rdr + (ρ_acier × π × r² × g) × dh + (ρ_acier × π × r² × h) × dg

= πr(rhgdρ_acier + 2ρ_acier × hgdr + ρ_acierrgdh + ρ_acierrhdg),

la précision s'exprime donc par

ΔP = πr(rhgΔρ_acier + 2ρ_acier × hgΔr + ρ_acierrgΔh + ρ_acierrhΔg)

= π × 10^-2(10^-2 × 10^-2 × 9,81 × 10² + 2 × 7,8⋅10³ × 10^-2 × 9,81 × 10^-3 + 7,8⋅10³ × 10^-2 × 9,81 × 10^-3 + 7,8⋅10³ × 10^-2 × 10^-2 × 10^-3)

= π × 10^-2(9,81 × 10^-2 + 2 × 7,8 × 9,81 × 10^-2 + 7,8 × 9,81 × 10^-2 + 7,8⋅10^-4)

= 7,5⋅10⁻² N ≃ 8⋅10⁻² N.

On a donc

P = 7,8⋅10³ × π × (10^-2)² × 10^-2 × 9,81 = 7,8⋅10^-3 × π × 9,81 = 2,4⋅10⁻¹ N ± 8⋅10⁻² N = 0,24 N ± 0,08 N.

Fin de l'exemple

Contrat de résultat

On voit donc que la solution à un même problème est rédigée de manière différente selon le domaine où l’on étudie. Cela peut se formaliser par un contrat écrit, sous la forme d'un tableau. D'ailleurs, certaines épreuves (examens de chaudronnerie en France) mettent explicitement le contrat sur l'énoncé.

Nous donnons par exemple ci-après deux contrats pour un même problème, celui du calcul du poids d'un cylindre.

Contrat pour l'enseignement technique et industriel

On vous demande (action)	On exige (indicateur de performance)	Barème
Calculer le poids	Les formules littérales sont écrites suivies de l’application numérique ; les résultats sont justes	2 pts

Contrat pour l'enseignement général et supérieur

On vous demande (action)	On exige (indicateur de performance)	Barème
Calculer le poids	La résolution est intégralement littérale, et est suivie de l’application numérique assortie de la précision ; les résultats sont justes et présentés de manière conforme	2 pts

Pour le rédacteur du sujet se pose bien sûr le problème du niveau de détail du contrat dans la partie « on exige ». Certains éléments doivent être connus de l'étudiant et doivent devenir une « action réflexe », comme par exemple écrire les résultats avec les unités. Détailler ces éléments serait une aide.

Unités internationales et unités usuelles

Les unités du système international (uSI) ont été créées par la Convention du mètre, une convention internationale. Elles ont le grand avantage d’éviter les erreurs de calcul et de fournir les formules les plus simples. Cependant, ces unités ne sont pas toujours celles utilisées pour représenter les grandeurs. Pour cela, on utilise des unités usuelles qui peuvent ne pas appartenir au système international. Il est important d’avoir un résultat final exprimé en unités usuelles, car c’est cette expression qui sera bien comprise par le lecteur. Bien sûr, dans le cas d'un examen, le correcteur a la solution en unités internationales et donc a juste besoin de comparer les valeurs, mais il faut voir plus loin : être capable de se faire comprendre du plus grand nombre, et surtout du ou des destinataires de la publication.

Les unités usuelles peuvent avoir une raison d’être culturelle, c’est le cas par exemple des unités de longueur et de masse utilisées par les anglo-saxons (pieds, pouces, livres), mais aussi celui des degrés d'angle : la plupart des gens savent ce que représente un angle de 45° ou 90°, mais qui sait ce que représente un angle de 0,1 rad ou 1 rad ? Par ailleurs, pour les petites longueurs en France, le grand public utilise le centimètre (cm) de même que les professionnels du bâtiment, mais les mécaniciens utilisent en général le millimètre (mm) ; la notion de « culture » ne se réduit pas à « culture nationale » mais comprend aussi la « culture professionnelle ».

C'est aussi une nécessité liée à la notion d'ordre de grandeur : on n'arrive bien à comprendre un nombre que si celui-ci est compris entre, disons 0,001 et 1 000. L'écriture en puissances de dix est absconse, et un nombre avec beaucoup de zéros déroute. On peut bien sûr se contenter des multiples et sous-multiples des uSI : micro-, milli-, kilo-, méga-, … Mais l'usage a consacré quelques unités usuelles particulières, comme le kilomètre par heure pour la vitesse (km/h, l'uSI étant le mètre par seconde m⋅s^-1), le bar pour la pression (bar, l'uSI étant le pascal Pa) ou le tour par minute pour la fréquence de rotation (tr/min, l'uSI pour une fréquence est le hertz Hz, mais pour une vitesse de rotation on utilise plutôt les radians par seconde rad⋅s^-1).

Dans le domaine technique et technologique, on donne fréquemment des formules adaptées aux unités usuelles. Rappelons que dans le domaine général, il convient de faire les calculs en unités internationales.

Début de l'exemple

Vitesse de rotation

En unités internationales, la vitesse de rotation ω s'exprime en radians par seconde (rad⋅s^-1), mais de manière usuelle on utilise la fréquence de rotation N en tours par minute (tr/min, parfois écrit rpm, rotation per minute en anglais). Un point de la circonférence d'un disque de rayon r a pour vitesse linéaire v

v = ω × r,

r étant en mètres (m) et v en mètres par seconde (m⋅s^-1). En usinage, la vitesse de coupe d'un outil v_c est exprimée en mètres par minute (m/min), et la formule en unités usuelle est :

$\mathrm {N} ={\frac {1\,000v_{\mathrm {c} }}{\pi d}}$

d étant le diamètre en millimètres. La formule en uSI est

$\omega ={\frac {v}{r}}$

ce qui est bien plus simple, mais peu utile en industrie ou tout est donné en mm et tr/min.

On notera par ailleurs que dans les études générales, on utilise le rayon, puisque c’est ce qui définit le cercle en mathématiques (ensemble des points à une distance r du centre O) ; dans le domaine technique et technologique, on utilise en général le diamètre puisque c’est ce que l’on mesure (avec un pied à coulisse).

Fin de l'exemple

On retiendra donc :

• dans le domaine technique et technologique, utilisation des unités usuelles lorsque l’on a une formule adaptée, ce qui n’est pas toujours le cas ;
• dans le domaine général, toujours convertir en unités internationales pour faire les calculs, puis convertir le résultat final en unités usuelles.

Dans tous les cas : lorsqu’il n'y a pas d'unité usuelle particulière, on retient comme unité usuelle le multiple ou sous-multiple le plus courant donnant un nombre entre 0,001 et 9 999. Pour reprendre l'exemple de la section précédente, 2,4⋅10⁻¹ N peut donc s'écrire 0,24 N ou 240 mN, mais le millinewton n’est pas couramment utilisé, on retiendra l'écriture 0,24 N.

Unités usuelles courantes

• millimètre (mm) : sur un plan (dessin technique), les cotes sont indiquées sans unité, et sont toujours exprimées en mm ;
• pouces (in. ou ") : utilisé en France par snobisme, ou pour gêner la comparaison avec les produits plus anciens, pour exprimer la diagonale des écrans d'ordinateur (alors que la diagonale des téléviseurs est en centimètres), le diamètre des jantes de voiture et des roues de VTT (alors que le diamètre des roues de vélos de route sont en millimètre) ; 1 in. = 2,54 cm = 25,4 mm ;
• pouce gaz (in. ou ") : utilisé en plomberie, conformément à l'habitude anglo-saxonne les valeurs sont exprimées sous forme de fraction ; en notation internationale, on donne les diamètres intérieur et extérieur en millimètre, par exemple ³⁄₈" = 12/17 (diamètre interne 12 mm et diamètre externe 17 mm), ¹⁄₂" = 15/21, ³⁄₄" = 10/27 ;
• tour (tr) : pour exprimer les angles, 1 tr = 2π rad ;
• degré d'angle (°) : 360° = 2π rad ;
• décanewton (daN) : représente la force équivalente au poids d'une masse de 1 kg, ordre de grandeur que l’on se représente facilement ; remplace de fait le kilogramme-force (1 kgf = 9,81 N ≃ 1 daN), et permet de remplacer les phrases du type « on a une poussée de 5 kilo » par « on a une poussée de 5 décanewtons » ;
• bar (bar) : représente environ la pression atmosphérique (1 bar = 10⁵ Pa = 0,1 MPa) ; est utilisé pour exprimer la pression des gaz (graduation des manomètres) ; les anglo-saxons utilisent la livre-force par pouce carré (pound per square inch, p.s.i. ; 1 p.s.i. = 6 894 Pa, 100 p.s.i. ≃ 7 bar) ;
• mégapascal (MPa) : en résistance des matériaux et mécanique des milieux continus, les valeurs atteintes pour les contraintes (« pression interne » de la matière) sont de cet ordre de grandeur ; on note que 1 MPa = 1 N/mm², les calculs dans les domaines techniques et technologiques se font donc en mm (dans le domaine général, on calcule en m, on obtient donc des Pa que l’on convertit au final en MPa) ; on utilisait avant le kgf/mm², avec 1 kgf/mm² = 9,81 N/mm² ≃ 10 MPa ;
• gigapascal (GPa) : en résistance des matériaux et mécanique des milieux continus, utilisé pour exprimer les modules d'élasticité ;
• torr (Torr) : utilisé pour exprimer les très petites pression, notamment lorsque l’on fait le vide ; 1 Torr est la pression sous un millimètre de mercure, 1 Torr = 1 mmHg = 133,3 Pa ;
• centimètre de mercure (cmHg) : utilisé pour la pression du sang dans les artères (« tension artérielle »), indiqué sans unité ; 1 cmHg = 1 333 Pa, une « tension de douze/sept » correspond donc à une pression de 16 kPa lorsque le cœur se contracte et 9 kPa lorsqu’il se dilate.