Mathématiques en terminale générale/Devoir/Exponentielles, intégrales et suites

Le programme français qui a guidé l'écriture de cette page a fait l'objet d'une réforme en 2019. Ce cours ne répond plus aux attendus du Ministère de l'Éducation nationale (source).

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Une liste de cours conformes à d'anciens programmes français est disponible ici : Catégorie:Anciens programmes.

On note $f_{0}$ la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $f_{0}(x)=e^{-x^{2}}$, et $f_{n}$ la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :

$f_{n}(x)=x^{n}e^{-x^{2}},\,n\in \mathbb {N} ^{*}$.

— Ⅰ —

1°  Pour tout naturel $n$, on pose :

$I_{n}=\int _{0}^{1}f_{n}(x)\,\mathrm {d} x$.

Montrez que la suite $(I_{n})$ est décroissante et positive.

On admettra que toute suite décroissante et positive est convergente.

On notera $l$ la limite de la suite $(u_{n})$.

2°  Trouvez une relation de récurrence entre $I_{n}$ et $I_{n+2}$.

Déduisez-en la valeur de $l$.

— Ⅱ —

1°  Étudiez les variations de $f_{n}$ selon les valeurs de $n$.

Précisez, en particulier, les cas $n=0,\,n=1,\,n=2,\,n=3$.

2°  Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O;\;{\vec {i}},\,{\vec {j}})$. On note ${\mathcal {C}}_{n}$ la courbe représentant $f_{n}$ dans ce repère.

a)  En quels points la courbe ${\mathcal {C}}_{n}$ a-t-elle une tangente parallèle à l'axe des abscisses ?

b)  Déterminez, pour les valeurs $0,\,1,\,2,\,3,$ de $n$, les abscisses des points en lesquels la dérivée seconde $f_{n}^{''}$ s'annule et change de signe.

c)  Montrez que toutes les courbes ${\mathcal {C}}_{n}(n\geqslant 0)$ ont un point commun et un seul, que l’on notera A,

que toutes les courbes ${\mathcal {C}}_{2p}(p\geqslant 0)$, ont exactement deux points communs, A et un autre que l’on notera B,

et montrez que toutes les courbes ${\mathcal {C}}_{2p+1}(p\geqslant 0)$, ont exactement trois points communs A, O, et un autre que l'on notera C.

d)  Précisez la position relative de deux courbes ${\mathcal {C}}_{n}$ et ${\mathcal {C}}_{m}$ restreintes à $[0;\,+\infty [$.

e)  Tracez sur un même dessin les courbes ${\mathcal {C}}_{0}$, ${\mathcal {C}}_{1}$, ${\mathcal {C}}_{2}$.

Corrigé

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