Mathématiques en terminale générale/Devoir/Exponentielles, intégrales et suites

Image logo
Le programme français qui a guidé l'écriture de cette page a fait l'objet d'une réforme en 2019. Ce cours ne répond plus aux attendus du Ministère de l'Éducation nationale (source).
Vous êtes invité à créer un nouveau cours (aide) et de nouvelles leçons (aide) conformes au nouveau programme. En cas de doute, discutez-en (février 2021).
Une liste de cours conformes à d'anciens programmes français est disponible ici : Catégorie:Anciens programmes.

On note la fonction définie sur par , et la fonction définie sur par :

Exponentielles, intégrales et suites
Image logo représentative de la faculté
Devoir no16
Cours : Mathématiques en terminale générale

Devoir de niveau 13.

Dev préc. :Exponentielles, approximations et intégrales
Dev suiv. :Logarithmes, calcul d'aire et complexes
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Devoir : Exponentielles, intégrales et suites
Mathématiques en terminale générale/Devoir/Exponentielles, intégrales et suites
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




.

— Ⅰ —

 Pour tout naturel , on pose :

.
Montrez que la suite est décroissante et positive.
On admettra que toute suite décroissante et positive est convergente.
On notera la limite de la suite .

 Trouvez une relation de récurrence entre et .

Déduisez-en la valeur de .


— Ⅱ —

 Étudiez les variations de selon les valeurs de .

Précisez, en particulier, les cas .

 Le plan est muni d'un repère orthonormal . On note la courbe représentant dans ce repère.

a)  En quels points la courbe a-t-elle une tangente parallèle à l'axe des abscisses ?
b)  Déterminez, pour les valeurs de , les abscisses des points en lesquels la dérivée seconde s'annule et change de signe.
c)  Montrez que toutes les courbes ont un point commun et un seul, que l’on notera A,
que toutes les courbes , ont exactement deux points communs, A et un autre que l’on notera B,
et montrez que toutes les courbes , ont exactement trois points communs A, O, et un autre que l'on notera C.
d)  Précisez la position relative de deux courbes et restreintes à .
e)  Tracez sur un même dessin les courbes , , .