Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithmes, calcul d'aire et complexes

Le programme français qui a guidé l'écriture de cette page a fait l'objet d'une réforme en 2019. Ce cours ne répond plus aux attendus du Ministère de l'Éducation nationale (source).

Vous êtes invité à créer un nouveau cours (aide) et de nouvelles leçons (aide) conformes au nouveau programme. En cas de doute, discutez-en (février 2021).
Une liste de cours conformes à d'anciens programmes français est disponible ici : Catégorie:Anciens programmes.

1°  $f$ est la fonction définie par :

— Ⅰ —

$f(x)=\ln(\ln |x|)$

a)  Calcul $f(e^{k}),\,k$ réel arbitraire strictement positif.

b)  Étudiez la fonction $f$ (ensemble de définition, parité, sens de variation, limites aux bornes de l'ensemble de définition).

c)  Tracez la courbe ${\mathcal {C}}$ représentant $f$ dans un repère orthonormal $(O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})$ dont l'unité graphique de longueur est 2 cm.

Précisez, s'ils existent, les points d'interception de ${\mathcal {C}}$ avec les axes de coordonnées, et les tangentes à ${\mathcal {C}}$ en ces points.

2°  $g$ et $h$ sont respectivement les fonctions définies par :

${\begin{cases}g(x)=\ln(\ln x)\\h(x)=\ln(|\ln |x||)\end{cases}}$

Précisez leurs ensembles de définition, et tracez, sans autres calculs, leurs représentations graphiques dans $(O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})$.

— Ⅱ —

$\varphi$ est la fonction définie par :

$\varphi (x)={\frac {1}{x\ln |x|}}$.

1°  Calculez $\varphi (e^{k}),\,k$ réel arbitraire non nul.

2°  Étudiez $\varphi$ et tracez la courbe $\Gamma$ qui représente cette fonction dans $(O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})$.

3°  a)  Calculez en cm² l'aire $A(\alpha )$ du domaine limité par $\Gamma$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=\alpha ,\,(\alpha >1),\,x=e$.

b)  Étudiez la limite de $\alpha \mapsto A(\alpha )$ en 1 et en $+\infty$.

4°  a)  Déterminez graphiquement l'ensemble des points d'intersection de $\Gamma$ avec la première bissectrice des axes de coordonnées (cette bissectrice est la droite d'équation $y=x$).

b)  Montrez que $\Gamma$ et la seconde bissectrice (droite d'équation $y=-x$) sont sans point commun.

— Ⅲ —

On considère la fonction $t$ définie sur une partie de $\mathbb {C}$ par :

$t(z)={\frac {1}{z\ln |z|}}\qquad$ ($z\in \mathbb {C}$ et $|z|$ est le module de $z$).

1°  Quel est l'ensemble de définition de $t$ ?

2°  Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O';\,{\vec {u}},\,{\vec {v}})$.

Exprimez le module et un argument de $z'=t(z)$ en fonction de ceux de $z$. On notera $z=re^{i\theta },\,r>0$.

3°  On associe à $t$ l'application $T$ du plan dans lui-même qui au point $M(z)$ fait correspondre le point $M'\left(t(z)\right)$.

Déterminez les points fixes de $T$, c'est-à-dire les point $M$ tel que $T(M)=M$.

4°  Déterminez les points $M$ tels que $O',\,M$ et $T(M)$ soient alignés. ($O'$ est l’origine du repère.)

5°  Quel est l'image de $T$ d'un cercle de centre $O'$ et de rayon $r,\,r>0,\,r\neq 1$ ?

Corrigé

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