Mathématiques en terminale générale/Devoir/Intégrales et bijections

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$f$ est la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :

$f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Le but du problème est l'étude de la primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ qui s'annule en zéro.

On notera $F$ cette primitive.

— Ⅰ —

1°  Étudier la fonction $f$ et représentez-la graphiquement dans un repère orthonormal $(O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})$.

2°  Écrivez $F(x)$ sous forme d'une intégrale.

Quel est le sens de variation de $F$ ? $F$ est-elle paire ? impaire ?

Justifier vos réponses.

3°  a)  Vérifier que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[1;\,+\infty [$,

${\frac {1}{1+t^{2}}}\leqslant {\frac {1}{t^{2}}}$,

et déduisez-en que pour tout réel $x\geqslant 1$,

$\int _{1}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t\leqslant 1-{\frac {1}{x}}$

b)  Montrez que :

$\int _{0}^{1}f(t)\,\mathrm {d} t\leqslant 1$ et que $F(x)\leqslant x$ pour tout réel $x\geqslant 0$.

c)  Montrer que pour tout réel $x\geqslant 0,\,F(x)\leqslant 2$.

d)  On admet le théorème suivant : toute fonction croissante et majorée sur un intervalle I, a une limite finie ou infinie aux extrémité de I.

En utilisant ce théorème, vérifiez que $F$ a une limite en $+\infty$.

Que pouvez-vous dire de cette limite ?

— Ⅱ —

1°  a)  Montrez que la fonction tangente restreinte à $\left[0;\,{\frac {\pi }{2}}\right[$ est une bijection de $\left[0;\,{\frac {\pi }{2}}\right[$ sur $[0;\,+\infty [$. On note $v$ cette restriction et $v^{-1}$ la bijection réciproque.

b)  On pose $w=F\circ v$.

Prouvez que $w$ est dérivable sur $\left[0;\,{\frac {\pi }{2}}\right[$ et calculez $w'(x)$.

Déduisez-en qu'il existe un nombre $k$ tel que :

Pour tout $x$ de $\left[0;\,{\frac {\pi }{2}}\right[,\,w(x)=x+k$.

c)  Calculez $w(0)$ et déduisez-en la valeur de $k$.

d)  Déduisez de cette étude que pour tout $x$ de $\left[0;\,{\frac {\pi }{2}}\right[,\,F\left(v(x)\right)=x$,

puis que pour tout $x$ de $[0;\,+\infty [,\,v^{-1}(x)=F(x)$.

Précisez alors la limite de $F$ en $+\infty$.

2°  Tracez la représentation graphique de $F$ et celle de $v$ dans le même repère orthonormal.

Corrigé

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