Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithmes, exponentielles, suites et intégrales

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$f$ est la fonction définie sur l'intervalle $I=]0;\,+\infty [$ par :

— Ⅰ —

$f(x)=\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)-{\frac {1}{1+x}}$

1°  Étudiez la fonction $f$.

2°  Déduisez-en que pour tout réel $t>1$,

$\int _{1}^{t}x\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)\,\mathrm {d} x\geqslant \int _{1}^{t}{\frac {x}{1+x}}\,\mathrm {d} x\qquad [1]$

3°  $g$ est la fonction définie sur $I$ par

$g(x)=x\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)$.

a)  Calculez $g'(x)$ et déduisez-en une primitive de $f$ sur $I$.

b)  Calculez l'aire ${\mathcal {A}}$ du domaine limité par la courbe représentant $f$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=\alpha ,\,x=\beta ,\,0<\alpha <\beta$.

4°  Pour tout naturel $n\geqslant 1$, on pose :

$S_{n}=1\ln \left(1+{\frac {1}{1}}\right)+2\ln \left(1+{\frac {1}{2}}\right)+\cdots +n\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)$.

Montrez que pour tout $n\geqslant 1$,

$S_{n}\geqslant \int _{1}^{n}x\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)\,\mathrm {d} x\qquad [2]$

— Ⅱ —

1°  Montrez que pour tout $a>0,\,\ln a\leqslant a-1$

2°  On donne $n$ réels strictement positifs $x_{1},\,x_{2},\,\cdots ,\,x_{n}$.

Montrer que :

${\frac {1}{n}}(\ln x_{1}+\ln x_{2}+\cdots +\ln x_{n})\leqslant \ln \left({\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\right)\qquad [3]$.

3°  Montrez que l'intégrale $[3]$ est équivalente à :

$x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\leqslant \left({\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\right)^{n}$

— Ⅲ —

$(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont les suites respectivement définies par :

$u_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\qquad v_{n}={\frac {u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}}{n}}\qquad n\geqslant 1$.

1°  Montrez que les suites $(\ln u_{n})$ et $(u_{n})$ sont croissantes, convergentes, et que leurs limites respectives sont 1 et e.

Déduisez-en que pour tout naturel $n\geqslant 1,\,v_{n}\leqslant e$.

2°  En utilisant les inégalités $[1],\,[2]$ et $[3],\,$ montrez que :

pour tout $n\geqslant 1,\,\ln(v_{n})\geqslant {\frac {1}{n}}\int _{1}^{n}{\frac {x}{1+x}}\,\mathrm {d} x$.

3°  Calculez l'intégrale :

$w_{n}=\int _{1}^{n}{\frac {x}{1+x}}\,\mathrm {d} x$.

4°  Montrez que pour tout $n\geqslant 1,\,{\frac {1}{n}}w_{n}\leqslant \ln v_{n}\leqslant 1$, puis déduisez-en que $(v_{n})$ est convergente et donnez sa limite.

Corrigé

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