Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithme et fonction définie par une intégrale

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$f$ est la fonction définie par : $f(x)={\begin{cases}{\frac {x}{x-\ln x}},&{\mbox{si }}x\neq 0\\0,&{\mbox{si }}x=0\end{cases}}$.

— Ⅰ —

1°  Montrez que $f$ est définie sur l'intervalle $[0;\,+\infty [$ et que $\lim _{x\to 0}f(x)=f(0)=0$.

2°  Étudiez la fonction $f$, tracez la courbe représentant $f$ dans un repère orthonormal. Précisez la tangente à la courbe au point O, origine du repère.

— Ⅱ —

Le but de cette partie est d'étudier la primitive de $f$ sur $[0;\,+\infty [$ qui s'annule en 1. On note $F$ cette primitive.

1°  Écrivez $F(x)$ sous forme d'une intégrale.

2°  Déterminez le signe de $F(x)$ selon les valeurs de $x$.

3°  Étudiez le sens de variation de $F$.

4°  Étudiez la limite de $F$ en zéro.

a)  Justifiez que $\lim _{x\to 0}F(x)=F(0)$

b)  Justifiez le résultat suivant : pour tout $t$ de $]0;\,1],\,f(t)\leqslant t$.

c)  Déduisez-en un encadrement de $F$ sur $]0;\,1]$.

d)  Montrez alors que $F(0)$ est compris entre $-{\frac {1}{2}}$ et $0$.

5°  Étude de la limite de $F$ en $+\infty$.

Montrez que pour tout $x\geqslant 1,\,F(x)\geqslant x$, et déduisez-en la limite de $F$ en $+\infty$.

6°  Le bur de cette question est d'encadrer la fonction $F$ par deux fonctions usuelles sur $[1;\,1]$

a)  Calculez $\int _{1}^{x}(\ln t+1)\,\mathrm {d} t$ lorsque $x>0$.

Montrez que pour tout $t>1,\,{\frac {t}{t-\ln t}}\leqslant 1+\ln t$.

Déduisez-en que pour tout $x\geqslant 1,\,F(x)\leqslant x\ln x$.

b)  Calculez $\int _{1}^{x}\left(1+{\frac {\ln t}{t}}\right)\,\mathrm {d} t$ lorsque $x>0$.

Montrez que pour tout $x\geqslant 1,\,x+{\frac {1}{2}}(\ln x)^{2}-1\leqslant F(x)$.

c)  On note $a(x)$ l'amplitude de cet encadrement de $F(x)$.

Étudiez les variations de $a(x)$ et commentez.

Corrigé

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