Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithmes, exponentielles et fonctions puissances

Le programme français qui a guidé l'écriture de cette page a fait l'objet d'une réforme en 2019. Ce cours ne répond plus aux attendus du Ministère de l'Éducation nationale (source).

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1°  On note $c$ et $s$ les fonctions définies sur $\mathbb {R}$ par :

$\qquad \qquad c(x)={\frac {1}{2}}(\mathrm {e} ^{x}+\mathrm {e} ^{-x})\qquad s(x)={\frac {1}{2}}(\mathrm {e} ^{x}-\mathrm {e} ^{-x})$

a)  Démontrez que $c$ est paire, que $s$ est impaire, puis que :

$c^{2}(x)-s^{2}(x)=1$.

b)  Étudiez chacune de ce fonctions et tracez leurs courbes représentatives dans un repère orthonormal.

De cette étude, déduisez que :

- pour tout $x>0$, $c(x)>1$ et $c(0)=1$ ;

- pour tout $x>0$, $s(x)>0$ et $s(0)=0$ ;

- pour tout réel $x$, $c'(x)=s(x)$ et $s'(x)=c(x)$.

Précisez les tangentes aux points d'abscisse zéro.

c)  On note $t$ la fonction définie par :

$t(x)={\frac {s(x)}{c(x)}}$.

Étudiez cette fonction et tracez sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

Déduisez de cette étude que :

- pour tout réel $x$, $-1<t(x)<1$ ;

- pour tout réel $x>0$, $t(x)>0$ et $t(0)=0$.

2°  On note $u$ la fonction définie par :

$\qquad \qquad \qquad u(x)={\frac {\ln c(x)}{x}}$

a)  Quel est l'ensemble de définition de $u$ ? Démontrer que $u$ est impaire.

b)  Démontrer que pour tout $x>0$, $u(x)>0$ ; déduisez-en que pour tout $x<0$, $u(x)<0$.

c)  On étudie la limite en zéro de la fonction $u$ ; observez que pour tout $x$ non nul, on peut écrire $u(x)={\frac {v(x)-v(0)}{x-0}}$, $v$ étant une fonction à préciser.

Expliquez alors pourquoi $u$ a une limite en zéro. Quelle est-elle ?

On pose alors $u(0)=0$. Dans toute la suite, $u$ désignera la fonction ainsi prolongée sur tout $\mathbb {R}$.

d)  $x$ est un réel strictement positif.

Appliquez l'inégalité des accroissements finis à la fonction $v$ entre les réels $0$ et $x$ (la fonction $v$ a été définie en c)).

Démontrez que pour tout réel $x>0$, $0<u(x)<1$.

Déduisez-en que pour tout réel $x<0$, $-1<u(x)<0$.

3°  On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb {R}$ par :

${\begin{cases}f(x)=x\left[c(x)\right]^{\frac {1}{x}},&{\mbox{pour }}x\neq 0\\f(0)=0\end{cases}}$

a)  Vérifier que pour tout réel $x,\,f(x)=xe^{u(x)}$

Démontrez que :

- pour tout réel $x>0$, $f(x)>0$ et $f(x)>x$ ;

- pour tout réel $x<0$, $f(x)<0$.

Calculez $f(1)$ et $f(-1)$, et démontrez que la fonction $f$ n'est ni paire, ni impaire.

b)  Démontrez que :

- pour tout réel $x>0$, $x<f(x)<\mathrm {e} x$ ;

- pour tout réel $x<0$, $x<f(x)<{\frac {x}{\mathrm {e} }}$.

c)  Déduisez de ces inégalités que :

$\qquad \qquad \qquad \lim _{+\infty }f=+\infty$ et $\lim _{-\infty }f=-\infty$.

4°  En utilisant la définition d'un nombre dérivé, montrez que $f$ est dérivable en zéro et que $f'(0)=1$.

Montrez que pour $x$ non nul, $f'(x)=\mathrm {e} ^{u(x)}\left(1+t(x)-u(x)\right)$.

Corrigé

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