Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithmes, exponentielles et suites définies par récurrence

Le programme français qui a guidé l'écriture de cette page a fait l'objet d'une réforme en 2019. Ce cours ne répond plus aux attendus du Ministère de l'Éducation nationale (source).

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Une liste de cours conformes à d'anciens programmes français est disponible ici : Catégorie:Anciens programmes.

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :

— Ⅰ —

$f(x)=e^{x}-x-3$

On note ${\mathcal {C}}$ sa courbe représentative.

1°  Étudiez la fonction $f$. Précisez, s'il en existe, les asymptotes à ${\mathcal {C}}$ et la position de ${\mathcal {C}}$ par rapport à ses asymptotes.

2°  Montrez que l'équation $f(x)=0$ a une solution et une seule dans l'intervalle $[0;\,+\infty [$. On désigne par $l$ cette solution.

Encadrez $l$ par deux entiers.

— Ⅱ —

$g$ est la fonction définie par :

$g(x)=\ln(x+3)$

1°  Étudiez la fonction $g$ et tracez sa courbe représentative $\Gamma$.

2°  a)  Montrez que l'équation $g(x)=x$ admet deux solutions, l'une $\alpha$ dans $]-3;\,-2[$, l'autre $\beta$ dans $]0;\,+\infty [$.

b)  Comparez $\beta$ et $l$.

c)  Comparez $g(x)$ et $x$; discutez.

3°  $x_{1}$ et $x_{2}$ sont deux réels tels que $\alpha <x_{1}<\beta <x_{2}$.

Démontrez que $\alpha <g(x_{1})<\beta <g(x_{2})$.

4°  a)  Vérifiez qu'il existe bien une suite $(u_{n})$ telle que :

${\begin{cases}u_{0}=1\\u_{n+1}=\ln(u_{n}+3)\end{cases}}$

pour tout naturel $n$.

Étudiez le sens de variation de cette suite.

b)  Vérifiez qu'il existe bien une suite $v_{n}$ telle que :

${\begin{cases}v_{0}=2\\v_{n+1}=\ln(v_{n}+3)\end{cases}}$

pour tout naturel $n$.

Étudiez le sens de variation de cette suite.

c)  Démontrez que pout tout naturel $n,\,1\leqslant u_{n}<\beta <v_{n}\leqslant 2$.

d)  Démontrez que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1;\,2]$,

${\frac {1}{5}}\leqslant g'(x)\leqslant {\frac {1}{4}}$

Déduisez-en que pour tout naturel $n$,

$0<g(v_{n})-g(u_{n})\leqslant {\frac {1}{4}}(v_{n}-u_{n})$,

puis que $0<v_{n}-u_{n}\leqslant \left({\frac {1}{4}}\right)^{n}$

e)  Trouvez un entier $n$ tel que $u_{n}$ soit une valeur approchée de $l$ à $10^{-2}$ près.

Calculez alors $u_{n}$ et une valeur approchée de $l$.

Corrigé

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