Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithmes, intégrales et suites

Le programme français qui a guidé l'écriture de cette page a fait l'objet d'une réforme en 2019. Ce cours ne répond plus aux attendus du Ministère de l'Éducation nationale (source).

Vous êtes invité à créer un nouveau cours (aide) et de nouvelles leçons (aide) conformes au nouveau programme. En cas de doute, discutez-en (février 2021).
Une liste de cours conformes à d'anciens programmes français est disponible ici : Catégorie:Anciens programmes.

$f$ est la fonction définie par :

$f(x)={\frac {1}{x}}+\ln \left({\frac {x}{x+1}}\right)$

— Ⅰ —

1°  a)  Prouvez que $f$ est définie sur l'intervalle $]0;\,+\infty [$.

b)  Étudiez la limite de $f$ en 0.

c)  Étudiez la limite de $f$ en $+\infty$.

2°  Étudiez le sens de variation de $f$, puis tracez sa courbe dans un repère orthonormal (unité graphique : 3 cm).

3°  $k$ est un réel strictement positif.

Calculez $\int _{1}^{k}\ln \left({\frac {x}{x+1}}\right)\,\mathrm {d} x$, puis $\int _{1}^{k}f(x)\,\mathrm {d} x$.

— Ⅱ —

Dans cette partie, $m$ est un réel strictement positif.

1°  Montrez que :

${\frac {1}{m+1}}\leqslant \int _{m}^{m+1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\leqslant {\frac {1}{m}}$

2°  Montrez que :

$\int _{m}^{m+1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}={\frac {1}{m}}-f(m)$,

et déduisez-en que :

$0\leqslant f(m)\leqslant {\frac {1}{m(m+1)}}$.

— Ⅲ —

1°  Montrez qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que pour tout réel $x$ :

$x\neq 0,\,x\neq -1,\,{\frac {1}{x(x+1)}}={\frac {a}{x}}+{\frac {b}{x+1}}$.

2°  Pour tout naturel $n\geqslant 1$, on pose :

$S_{n}={\frac {1}{n(n+1)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}+\cdots +{\frac {1}{2n(2n+1)}}$.

a)  En utilisant la question 1°, simplifiez l'expression de $S_{n}$.

b)  Montrez que la suite $(S_{n})$ est convergente et précisez sa limite.

3°  a)  Montrer que :

$0\leqslant f(n)+f(n+1)+\cdots +f(2n)\leqslant S_{n}$

b)  Trouvez la limite de la suite $(u_{n})$ définie par :

$u_{n}=f(n)+f(n+1)+\cdots +f(2n)$

4°  $v_{n}$ est la suite définie par :

$v_{n}={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}$.

a)  Vérifier que :

$f(n)+f(n+1)+\cdots +f(2n)=v_{n}-\ln 2-\ln \left(1+{\frac {1}{2n}}\right)$

b)  Déduisez-en que $(v_{n})$ est convergente et précisez sa limite.

Corrigé

Le corrigé de ce devoir n'a pas été rédigé. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}