Mathématiques en terminale générale/Devoir/Équations fonctionnelles, dérivation et suites

Le programme français qui a guidé l'écriture de cette page a fait l'objet d'une réforme en 2019. Ce cours ne répond plus aux attendus du Ministère de l'Éducation nationale (source).

Vous êtes invité à créer un nouveau cours (aide) et de nouvelles leçons (aide) conformes au nouveau programme. En cas de doute, discutez-en (février 2021).
Une liste de cours conformes à d'anciens programmes français est disponible ici : Catégorie:Anciens programmes.

Le but de cette partie est de trouver toutes les fonctions $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ satisfaisant aux conditions $(C_{1})$ suivantes :

• $\lim _{x\to 0}f(x)=f(0)$ ;
• pour tout réel $x,\,f(2x)=f(x)$.

— Ⅰ —

1°  Vérifiez que les fonctions constantes satisfont bien aux conditions $(C_{1})$.

2°  Nous allons montrer que seules les fonctions constantes vérifient les conditions $(C_{1})$.

On suppose que $f$ satisfait aux conditions $(C_{1})$.

a)  Montrez que pour tout réel $x$, tout naturel $n,\,f(x)=f\left({\frac {x}{2^{n}}}\right)$.

b)  En supposant $x$ fixé, justifiez que la suite $(u_{n})$ définie par :

$u_{n}=f\left({\frac {x}{2^{n}}}\right)$

a pour limite $f(0)$.

c)  Déduisez-en que $f$ est constante.

— Ⅱ —

Le but de cette partie est de trouver toutes les fonctions $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ satisfaisant aux conditions $(C_{2})$ suivantes :

• $g$ est dérivable en zéro ;
• pour tout réel $x,\,g(2x)=2g(x)$.

1°  Trouvez des fonctions simples qui satisfont aux conditions $(C_{2})$.

2°  On suppose que $g$ satisfait aux conditions $(C_{2})$.

a)  Montrez que $g(0)=0$.

b)  Nous allons ramener le problème à celui posé lors de la première partie.

On note $f$ la fonction définie par $f(x)={\frac {g(x)}{x}}$ lorsque $x\neq 0$, et $f(0)=g'(0)$.

Montrez que $\lim _{x\to 0}f(x)=f(0)$.

c)  Montrez que pour tout réel $x,\,f(2x)=f(x)$.

d)  Déduisez-en, en utilisant la première partie, que pour tout réel $x,\,g(x)=g'(0)x$ (donc $g$ est une fonction linéaire).

e)  Déterminez l'ensemble de toutes les fonctions qui satisfont aux conditions $(C_{2})$.

Corrigé

— Ⅰ —

1°  Immédiat.

2°  a)  Récurrence simple.

b)  Quand $n\to +\infty$, ${\frac {x}{2^{n}}}\to 0$ donc (puisque $\lim _{t\to 0}f(t)=f(0)$) $f\left({\frac {x}{2^{n}}}\right)\to f(0)$.

c)  Pour $x$ fixé, d'après b), $f\left({\frac {x}{2^{n}}}\right)\to f(0)$ or d'après a), la suite $\left(f\left({\frac {x}{2^{n}}}\right)\right)$ est constante, égale à $f(x)$. Donc $\forall x\in \mathbb {R} \quad f(x)=f(0)$.

— Ⅱ —

1°  $g:x\mapsto kx$ convient (pour tout $k\in \mathbb {R}$) car $g'(0)=k$ et $k(2x)=2(kx)$.

2°  a)  $g(0)=g(2\times 0)=2g(0)$ donc $g(0)=0$.

b)  Pour tout $x\neq 0$, $f(x)={\frac {g(x)}{x}}={\frac {g(x)-g(0)}{x}}$ — d'après a) — donc $\lim _{x\to 0,\;x\neq 0}f(x)=g'(0)=f(0)$.

c)  $f(2\times 0)=f(0)$ et si $x\neq 0$, $f(2x)={\frac {g(2x)}{2x}}={\frac {2g(x)}{2x}}={\frac {g(x)}{x}}=f(x)$.

d)  D'après b) et c) et la première partie, $\forall x\in \mathbb {R} ^{*}\quad {\frac {g(x)}{x}}=f(x)=f(0)=g'(0)$. D'après a), $g(0)=0=g'(0)\times 0$.

e)  D'après d) et 1°, les fonctions qui satisfont aux conditions $(C_{2})$ sont les fonctions linéaires.