Mathématiques financières/Exercices/Applications simples

Chiffre d'affaires

Le chiffre d'affaires du rayon « petit outillage » d'un magasin s'accroît tous les ans de 50 000 €.

En 1997, le chiffre d'affaires C₀ était de 500 000 €. On note C_n le chiffre d'affaires au cours de l'année 1997 + n.

1. Expliquer pourquoi (C_n) est une suite arithmétique et donner sa raison r.
2. Exprimer C_n en fonction de n.
3. Calculer le chiffre d'affaires en 2005.
4. En quelle année peut-on prévoir un chiffre d'affaires de 1 050 000 € ?

Solution

1. C'est une suite arithmétique car $C_{n+1}=C_{n}+r$ avec r = 50 000.
2. $C_{n}=C_{0}+nr=500\;000+n\times 50\;000$.
3. $n=2005-1997=8$.
   $C_{8}=500\;000+8\times 50\;000=900\;000$.
4. $n={\frac {C_{n}-C_{0}}{r}}={\frac {1\;050\;000-500\;000}{50\;000}}={\frac {105-50}{5}}=11$.

 

C'est tout bénéfice

Le bénéfice d'un entrepreneur augmente de 0,5 % par mois pendant 10 ans.

La première année, il était au total de 200 000 €.

Quel est son bénéfice total sur 10 ans ?

Solution

Notons $u_{n}$ le bénéfice au $n$-ième mois. $u_{n+1}=qu_{n}$ (pour $q=1{,}005$) donc le bénéfice cumulé est (en euros) :

• sur la première année : $200\;000=u_{1}+u_{2}+\dots +u_{12}=u_{1}{\frac {q^{12}-1}{q-1}}$ ;
• sur les 10 ans : $u_{1}+\dots +u_{120}=u_{1}{\frac {q^{120}-1}{q-1}}=200\;000\;{\frac {q^{120}-1}{q^{12}-1}}\approx 2\;657\;023$.

 

Placement avec intérêts composés

On place un capital $C_{0}=$ 1 000 € à 4 % par an. On note $C_{n}$ la valeur acquise au bout de n années.

1. Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_{n}$.
2. En déduire que la nature de la suite $(C_{n})$, dont on précisera la raison.
3. Exprimer $C_{n}$ en fonction de $n$.
4. Calculer $C_{17}$ et $C_{18}$ (on donnera les valeurs approchées par défaut au centime près).
5. Au bout de combien d'années le capital initial aura-t-il doublé ?

Solution

1. $C_{n+1}=\left(1+i\right)C_{n}$, où $i=0{,}04$
2. $(C_{n})$ est une suite géométrique de raison $1+i=1{,}04$.
3. $C_{n}=\left(1+i\right)^{n}C_{0}=1{,}04^{n}\times 1000$.
4. $C_{17}=1{,}04^{17}\times 1000\approx 1947{,}90$ et $C_{18}=1{,}04^{17}\times 1000\approx 2025{,}81$.
5. $1{,}04^{n}\geq 2\Leftrightarrow n\geq 18$.

 

Prêt immobilier

On emprunte 100 000 € à mensualités constantes, au taux d'intérêt annuel de 4,23 %, sur 15 ans.

1. Calculer le taux mensuel équivalent.
2. Calculer le montant de la mensualité. Arrondir au centime d'euro.
3. Calculer le montant des intérêts versés, c'est-à-dire le coût du crédit.

Solution

1. $j={\sqrt[{12}]{1+i}}-1={\sqrt[{12}]{1{,}0423}}-1\approx 0{,}00345845$, soit 0,345845 \%.
2. $a=C\,{\frac {j}{1-\left(1+j\right)^{-15\times 12}}}=C\,{\frac {j}{1-\left(1+i\right)^{-15}}}\approx 100\;000\times {\frac {0{,}00345845}{1-1{,}0423^{-15}}}={\frac {345{,}845}{1-1{,}0423^{-15}}}\approx 747{,}23$ € (et non pas 751,27 € comme l'affirment les calculettes en ligne de la plupart des banques).
3. $15\times 12\times a-C\approx 180\times 747{,}23-100\;000=34\;501{,}40$ € (et non pas 35 228 € comme l'affirment les calculettes en ligne de la plupart des banques).

 

Un truc de banquier

« Pour doubler en $n$ années un capital placé à $i\;\%$ par an, il suffit que $n\times i=70$. »

1. En réalité, au taux de 7%, en combien d'années un capital double-t-il ?
2. Même question pour 5 % et 10 %.
3. Comparer ces valeurs réelles avec celles données par le « truc ».

Solution

La condition réelle est $\left(1+i\right)^{n}\geq 2$ et l'approximation du banquier est $n\geq {\frac {70}{i}}$.

1. $1{,}07^{n}\geq 2\Leftrightarrow n\geq 11$.
2. $1{,}05^{n}\geq 2\Leftrightarrow n\geq 15$ et $1{,}1^{n}\geq 2\Leftrightarrow n\geq 8$.
3. Le banquier aurait dit, respectivement : $n\geq 10$, $n\geq 14$ et $n\geq 7$. Son approximation sous-estime légèrement la durée nécessaire.