Matrice/Définition

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Ce chapitre introduit la notion de matrice, et d'ensemble de matrices. Nous précisons les notations usuelles et définissons les termes.

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Notations générales

Notations générales

Soit $\left(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \,a_{n}\right)$ une famille d'objets. On utilisera la notation $\left(a_{i}\right)_{i\in \left[\![1,n]\!\right]}$ pour désigner cette famille, n étant un entier positif.

De manière similaire, si $\left(a_{1,1},a_{1,2}\ldots ,a_{1,n},a_{2,1},a_{2,2},\ldots ,a_{2,n},\ldots ,a_{m,1},a_{m,2}\ldots ,a_{m,n}\right)$ est une famille d'objets, on utilisera la notation : $\left(a_{i,j}\right)_{(i,j)\in \left[\![1,m]\!\right]\times \left[\![1,n]\!\right]}$ pour la désigner, m et n étant deux nombres entiers positifs.

Rappelons que $\mathbb {R}$ et $\mathbb {C}$ désignent respectivement le corps des nombres réels et celui des nombres complexes. La notation K désignera indifféremment l'un ou l'autre de ces deux corps, ou tout autre anneau (c'est-à-dire, pour résumer, qu'on sait additionner et multiplier entre eux les éléments de K).

Définition

Définitions

Une matrice à coefficients dans K est une famille $\left(a_{i,j}\right)_{(i,j)\in \left[\![1,m]\!\right]\times \left[\![1,n]\!\right]}$ d'éléments de K.

Les nombres m et n sont appelés dimensions de la matrice. On dit qu'une matrice est de taille m × n (lire « m fois n »).

Les éléments $a_{i,j}$ sont appelés coefficients de la matrice.

Tout de suite, introduisons la notation usuelle des matrices :

Notation des matrices et définitions

Une matrice $A=\left(a_{i,j}\right)_{(i,j)\in \left[\![1,m]\!\right]\times \left[\![1,n]\!\right]}$ est notée de la manière suivante :

$A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ &\vdots \\\vdots &\vdots &\ &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&a_{m,3}&\cdots &a_{m,n}\end{pmatrix}}$

L’ensemble des matrices de dimensions données à coefficients dans K est noté $\mathrm {M} _{m,n}\left(K\right)$.

L'ensemble $\mathrm {M} _{n,n}\left(K\right)$ est noté plus simplement $\mathrm {M} _{n}\left(K\right)$.

Début de l'exemple

Exemples

${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\\7&8\end{pmatrix}},\qquad {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\end{pmatrix}},\qquad {\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}$ sont des exemples de matrices.

La matrice $A=(a_{ij})\in \mathrm {M} _{3}$ telle que $\forall i,j;\,1\leq i,j\leq 3$, le terme $a_{ij}$ a soit donné par la formule $a_{ij}=3i-j^{2}$ est : $A={\begin{pmatrix}2&-1&-6\\5&2&-3\\8&5&0\end{pmatrix}}$.

Fin de l'exemple

Les i sont donc les numéros de lignes, de haut en bas, et les j les numéros de colonnes, de gauche à droite.

Il est très important d’avoir bien compris cet ordre, qui n’est pas totalement arbitraire. Inverser i et j a des conséquences sur la matrice.

On appelle hauteur de la matrice le nombre m de lignes, et largeur de la matrice le nombre n de colonnes.

Quelques cas particuliers qui nous intéressent :

• une matrice de largeur n = 1 est appelée vecteur, ou plus spécifiquement vecteur colonne ;
• une matrice de hauteur m = 1 est appelée vecteur ligne ;
• une matrice telle que m = n est appelée matrice carrée.

Remarque

Il existe une notation alternative des matrices, entre crochets au lieu de parenthèses, mais que nous n'emploierons pas dans le cadre de cette leçon :

$A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\cdots &a_{1,m}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&\cdots &a_{2,m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ &\vdots \\\vdots &\vdots &\ &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&a_{n,3}&\cdots &a_{n,m}\end{bmatrix}}$.

Cette notation est parfois plus lisible quand les coefficients de la matrice sont eux-mêmes des expressions comportant des parenthèses.