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Exercice : Produit matricielMatrice/Exercices/Produit matriciel », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Produit matriciel : possible ou pas ?
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On considère les quatre matrices :
A = ( 0 1 3 0 8 5 0 6 0 0 1 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&3&0\\8&5&0&6\\0&0&1&1\end{pmatrix}}}
B = ( 0 1 0 0 3 3 9 5 ) {\displaystyle B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\3&3\\9&5\end{pmatrix}}}
C = ( 0 1 3 8 5 0 0 0 1 ) {\displaystyle C={\begin{pmatrix}0&1&3\\8&5&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}
D = ( 1 3 5 0 ) {\displaystyle D={\begin{pmatrix}1&3\\5&0\end{pmatrix}}} .
1. Quels sont les produits matriciels réalisables ?
2. Effectuez-les.
Solution
A B = ( 0 1 3 0 8 5 0 6 0 0 1 1 ) ( 0 1 0 0 3 3 9 5 ) = ( 0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 3 + 0 × 9 0 × 1 + 1 × 0 + 3 × 3 + 0 × 5 8 × 0 + 5 × 0 + 0 × 3 + 6 × 9 8 × 1 + 5 × 0 + 0 × 3 + 6 × 5 0 × 0 + 0 × 0 + 1 × 3 + 1 × 9 0 × 1 + 0 × 0 + 1 × 3 + 1 × 5 ) = ( 9 9 54 38 12 8 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}AB&={\begin{pmatrix}0&1&3&0\\8&5&0&6\\0&0&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\3&3\\9&5\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\times 0+1\times 0+3\times 3+0\times 9&0\times 1+1\times 0+3\times 3+0\times 5\\8\times 0+5\times 0+0\times 3+6\times 9&8\times 1+5\times 0+0\times 3+6\times 5\\0\times 0+0\times 0+1\times 3+1\times 9&0\times 1+0\times 0+1\times 3+1\times 5\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}9&9\\54&38\\12&8\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
B D = ( 0 1 0 0 3 3 9 5 ) ( 1 3 5 0 ) = ( 0 × 1 + 1 × 5 0 × 3 + 1 × 0 0 × 1 + 0 × 5 0 × 3 + 0 × 0 3 × 1 + 3 × 5 3 × 3 + 3 × 0 9 × 1 + 5 × 5 9 × 3 + 5 × 0 ) = ( 5 0 0 0 18 9 34 27 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}BD&={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\3&3\\9&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&3\\5&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\times 1+1\times 5&0\times 3+1\times 0\\0\times 1+0\times 5&0\times 3+0\times 0\\3\times 1+3\times 5&3\times 3+3\times 0\\9\times 1+5\times 5&9\times 3+5\times 0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}5&0\\0&0\\18&9\\34&27\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
C A = ( 0 1 3 8 5 0 0 0 1 ) ( 0 1 3 0 8 5 0 6 0 0 1 1 ) = ( 0 × 0 + 8 × 1 + 0 × 3 0 × 1 + 1 × 5 + 3 × 0 0 × 3 + 1 × 0 + 3 × 1 0 × 0 + 1 × 6 + 3 × 1 8 × 0 + 5 × 8 + 0 × 0 8 × 1 + 5 × 5 + 0 × 0 8 × 3 + 5 × 0 + 0 × 1 8 × 0 + 5 × 6 + 0 × 1 0 × 0 + 0 × 8 + 1 × 0 0 × 1 + 0 × 5 + 1 × 0 0 × 3 + 0 × 0 + 1 × 1 0 × 0 + 0 × 6 + 1 × 1 ) = ( 8 5 3 9 40 33 24 30 0 0 1 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}CA&={\begin{pmatrix}0&1&3\\8&5&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1&3&0\\8&5&0&6\\0&0&1&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\times 0+8\times 1+0\times 3&0\times 1+1\times 5+3\times 0&0\times 3+1\times 0+3\times 1&0\times 0+1\times 6+3\times 1\\8\times 0+5\times 8+0\times 0&8\times 1+5\times 5+0\times 0&8\times 3+5\times 0+0\times 1&8\times 0+5\times 6+0\times 1\\0\times 0+0\times 8+1\times 0&0\times 1+0\times 5+1\times 0&0\times 3+0\times 0+1\times 1&0\times 0+0\times 6+1\times 1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}8&5&3&9\\40&33&24&30\\0&0&1&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
C C = ( 0 1 3 8 5 0 0 0 1 ) ( 0 1 3 8 5 0 0 0 1 ) = ( 0 × 0 + 1 × 8 + 3 × 0 0 × 1 + 1 × 5 + 3 × 0 0 × 3 + 1 × 0 + 3 × 1 8 × 0 + 5 × 8 + 0 × 0 8 × 1 + 5 × 5 + 0 × 0 8 × 3 + 5 × 0 + 0 × 1 0 × 0 + 0 × 8 + 1 × 0 0 × 1 + 0 × 5 + 1 × 0 0 × 3 + 0 × 0 + 1 × 1 ) = ( 8 5 3 40 33 24 0 0 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}CC&={\begin{pmatrix}0&1&3\\8&5&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1&3\\8&5&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\times 0+1\times 8+3\times 0&0\times 1+1\times 5+3\times 0&0\times 3+1\times 0+3\times 1\\8\times 0+5\times 8+0\times 0&8\times 1+5\times 5+0\times 0&8\times 3+5\times 0+0\times 1\\0\times 0+0\times 8+1\times 0&0\times 1+0\times 5+1\times 0&0\times 3+0\times 0+1\times 1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}8&5&3\\40&33&24\\0&0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
D D = ( 1 3 5 0 ) ( 1 3 5 0 ) = ( 1 × 1 + 3 × 5 1 × 3 + 3 × 0 5 × 1 + 0 × 5 5 × 3 + 0 × 0 ) = ( 16 3 5 15 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}DD&={\begin{pmatrix}1&3\\5&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&3\\5&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1\times 1+3\times 5&1\times 3+3\times 0\\5\times 1+0\times 5&5\times 3+0\times 0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}16&3\\5&15\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
Matrice strictement triangulaire
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Soit A ∈ M n ( K ) {\displaystyle A\in \mathrm {M} _{n}(K)} une matrice strictement triangulaire supérieure, c'est-à-dire qui n'a que des zéros en dessous de la diagonale et sur la diagonale elle-même . Démontrer que A n = 0 {\displaystyle A^{n}=0} .
Solution
Soit ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})} la base canonique de K n {\displaystyle K^{n}} et E k = Vect ( e 1 , … , e k ) {\displaystyle E_{k}=\operatorname {Vect} \left(e_{1},\dots ,e_{k}\right)} , pour k {\displaystyle k} de 0 {\displaystyle 0} à n {\displaystyle n} .
Pour tout i {\displaystyle i} de 1 {\displaystyle 1} à n {\displaystyle n} , A ( e i ) ∈ E i − 1 {\displaystyle A(e_{i})\in E_{i-1}} donc pour tout k {\displaystyle k} de 1 {\displaystyle 1} à n {\displaystyle n} , A ( E k ) ⊂ E k − 1 {\displaystyle A(E_{k})\subset E_{k-1}} et a fortiori , A k ( E k ) = A k − 1 ( A ( E k ) ) ⊂ A k − 1 ( E k − 1 ) {\displaystyle A^{k}(E_{k})=A^{k-1}(A(E_{k}))\subset A^{k-1}(E_{k-1})} . Par conséquent :
A n ( K n ) = A n ( E n ) ⊂ A n − 1 ( E n − 1 ) ⊂ ⋯ ⊂ A ( E 1 ) ⊂ E 0 = Vect ( ∅ ) = { 0 } {\displaystyle A^{n}(K^{n})=A^{n}(E_{n})\subset A^{n-1}(E_{n-1})\subset \dots \subset A(E_{1})\subset E_{0}=\operatorname {Vect} (\varnothing )=\{0\}} .
Soit A = ( 0 a b 0 0 c 0 0 0 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{pmatrix}}} avec a , b , c ∈ R {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} } .
Calculer A 2 {\displaystyle A^{2}} et A 3 {\displaystyle A^{3}} .
En déduire la matrice inverse de I 3 − A {\displaystyle \mathrm {I} _{3}-A} .
Non-commutativité
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On considère les deux matrices suivantes :
A = ( 2 3 − 4 1 5 2 1 0 3 1 − 6 7 2 4 0 1 ) , B = ( 3 − 1 − 3 7 4 0 2 1 2 3 0 − 5 1 6 6 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&3&-4&1\\5&2&1&0\\3&1&-6&7\\2&4&0&1\end{pmatrix}},\ \ \ \ \ \ B={\begin{pmatrix}3&-1&-3&7\\4&0&2&1\\2&3&0&-5\\1&6&6&1\end{pmatrix}}} .Calculer A B {\displaystyle AB} et B A {\displaystyle BA} . Que remarque-t-on ?
Solution
A B = ( 11 − 8 6 38 25 − 2 − 11 32 8 21 35 59 23 4 8 19 ) ≠ B A = ( 6 32 5 − 11 16 18 − 28 19 9 − 8 − 5 − 3 52 25 − 34 44 ) {\displaystyle AB={\begin{pmatrix}11&-8&6&38\\25&-2&-11&32\\8&21&35&59\\23&4&8&19\end{pmatrix}}\neq BA={\begin{pmatrix}6&32&5&-11\\16&18&-28&19\\9&-8&-5&-3\\52&25&-34&44\end{pmatrix}}} .
Soient A = ( 4 8 1 2 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}4&8\\1&2\end{pmatrix}}} et B = ( 3 9 1 1 ) {\displaystyle B={\begin{pmatrix}3&9\\1&1\end{pmatrix}}} .
Calculez et comparez A 2 + 2 A B + B 2 {\displaystyle A^{2}+2AB+B^{2}} et ( A + B ) 2 {\displaystyle (A+B)^{2}} .
Solution
A 2 + 2 A B + B 2 = ( 24 48 6 12 ) + 2 ( 20 44 5 11 ) + ( 18 36 4 10 ) = ( 82 172 20 44 ) ≠ ( A + B ) 2 = ( 7 17 2 3 ) 2 = ( 83 170 20 43 ) {\displaystyle A^{2}+2AB+B^{2}={\begin{pmatrix}24&48\\6&12\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}20&44\\5&11\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}18&36\\4&10\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}82&172\\20&44\end{pmatrix}}\neq (A+B)^{2}={\begin{pmatrix}7&17\\2&3\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}83&170\\20&43\end{pmatrix}}} .
Normal puisque A 2 + 2 A B + B 2 − ( A + B ) 2 = A B − B A = ( 20 44 5 11 ) − ( 21 42 5 10 ) = ( − 1 2 0 1 ) {\displaystyle A^{2}+2AB+B^{2}-(A+B)^{2}=AB-BA={\begin{pmatrix}20&44\\5&11\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}21&42\\5&10\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&2\\0&1\end{pmatrix}}} .
Diviseurs de zéro
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Soient A {\displaystyle A} et B {\displaystyle B} deux matrices carrées de même taille. Montrer que si A B = 0 {\displaystyle AB=0} , les matrices A {\displaystyle A} et B {\displaystyle B} ne sont pas inversibles.
Solution
A ′ A = I et A B = 0 ⇒ 0 = A ′ 0 = A ′ ( A B ) = ( A ′ A ) B = I B = B {\displaystyle A'A=\mathrm {I} {\text{ et }}AB=0\Rightarrow 0=A'0=A'(AB)=(A'A)B=\mathrm {I} B=B} . De même, B B ′ = I et A B = 0 ⇒ A = 0 {\displaystyle BB'=\mathrm {I} {\text{ et }}AB=0\Rightarrow A=0} .
Calculs d'inverses
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Par la méthode polynomiale
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Soit A = ( 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}} . Calculer A 2 {\displaystyle A^{2}} et vérifier que A 2 = A + 2 I 3 {\displaystyle A^{2}=A+2\mathrm {I} _{3}} . En déduire que A {\displaystyle A} est inversible et calculer son inverse.
Soit A = ( − 1 1 1 1 − 1 1 1 1 − 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{pmatrix}}} . Calculer A 2 {\displaystyle A^{2}} et vérifier que A 2 = 2 I 3 − A {\displaystyle A^{2}=2\mathrm {I} _{3}-A} . En déduire que A {\displaystyle A} est inversible et calculer son inverse.
Soient n ∈ N ∗ {\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}} et A ∈ M n {\displaystyle A\in \mathrm {M} _{n}} une matrice nilpotente, c'est-à-dire qu'il existe un entier p ≥ 1 {\displaystyle p\geq 1} tel que A p = 0 {\displaystyle A^{p}=0} . Démontrer que la matrice I n − A {\displaystyle \mathrm {I} _{n}-A} est inversible et déterminer son inverse.
Solution
( I n − A ) ( I n + A + A 2 + ⋯ + A p − 1 ) = I n {\displaystyle (\mathrm {I} _{n}-A)(\mathrm {I} _{n}+A+A^{2}+\dots +A^{p-1})=\mathrm {I} _{n}} .
Par résolution de système
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En utilisant un système linéaire, inverser la matrice A = ( 1 1 1 2 1 1 1 2 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&1\\2&1&1\\1&2&1\end{pmatrix}}} .
Solution
{ x + y + z = a 2 x + y + z = b x + 2 y + z = c ⇔ { x + y + z = a x = b − a y = c − a ⇔ { x = b − a y = c − a z = 3 a − b − c {\displaystyle {\begin{cases}x+y+z&=a\\2x+y+z&=b\\x+2y+z&=c\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x+y+z&=a\\x&=b-a\\y&=c-a\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x&=b-a\\y&=c-a\\z&=3a-b-c\end{cases}}} donc A {\displaystyle A} est inversible, d'inverse ( − 1 1 0 − 1 0 1 3 − 1 − 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&1&0\\-1&0&1\\3&-1&-1\end{pmatrix}}} .
Par la formule de Laplace
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Pour quelles valeurs de a {\displaystyle a} la matrice A = ( 1 1 1 1 2 4 1 3 a ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&4\\1&3&a\end{pmatrix}}} est-elle inversible ? Calculer dans ce cas son inverse.
Solution
det A = a − 7 {\displaystyle \det A=a-7} donc A {\displaystyle A} est inversible pour a ≠ 7 {\displaystyle a\neq 7} , et son inverse est alors égale à
1 a − 7 t r a n s p o s e ´ e ( | 2 4 3 a | − | 1 4 1 a | | 1 2 1 3 | − | 1 1 3 a | | 1 1 1 a | − | 1 1 1 3 | | 1 1 2 4 | − | 1 1 1 4 | | 1 1 1 2 | ) = 1 a − 7 ( 2 a − 12 3 − a 2 4 − a a − 1 − 3 1 − 2 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{a-7}}\operatorname {transpos{\acute {e}}e} {\begin{pmatrix}{\begin{vmatrix}2&4\\3&a\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&4\\1&a\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&2\\1&3\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}1&1\\3&a\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&1\\1&a\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&1\\1&3\end{vmatrix}}\\{\begin{vmatrix}1&1\\2&4\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&1\\1&4\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{a-7}}{\begin{pmatrix}2a-12&3-a&2\\4-a&a-1&-3\\1&-2&1\end{pmatrix}}} .
Calculer l'inverse de la matrice suivante en passant par le calcul de sa comatrice.
A = ( 1 2 1 0 2 1 1 3 1 2 − 2 1 3 0 2 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&1&0\\2&1&1&3\\1&2&-2&1\\3&0&2&1\end{pmatrix}}} .
Solution
En développant par exemple par rapport à la première ligne,
det ( A ) = | 1 1 3 2 − 2 1 0 2 1 | − 2 | 2 1 3 1 − 2 1 3 2 1 | + | 2 1 3 1 2 1 3 0 1 | = 6 − 2 × 18 − 12 = − 42 ≠ 0 {\displaystyle \det(A)=\left|{\begin{array}{ccc}1&1&3\\2&-2&1\\0&2&1\end{array}}\right|-2\left|{\begin{array}{ccc}2&1&3\\1&-2&1\\3&2&1\end{array}}\right|+\left|{\begin{array}{ccc}2&1&3\\1&2&1\\3&0&1\end{array}}\right|=6-2\times 18-12=-42\neq 0} donc A {\displaystyle A} est inversible,
et
c o m ( A ) = ( | 1 1 3 2 − 2 1 0 2 1 | − | 2 1 3 1 − 2 1 3 2 1 | | 2 1 3 1 2 1 3 0 1 | − | 2 1 1 1 2 − 2 3 0 2 | − | 2 1 0 2 − 2 1 0 2 1 | | 1 1 0 1 − 2 1 3 2 1 | − | 1 2 0 1 2 1 3 0 1 | | 1 2 1 1 2 − 2 3 0 2 | | 2 1 0 1 1 3 0 2 1 | − | 1 1 0 2 1 3 3 2 1 | | 1 2 0 2 1 3 3 0 1 | − | 1 2 1 2 1 1 3 0 2 | − | 2 1 0 1 1 3 2 − 2 1 | | 1 1 0 2 1 3 1 − 2 1 | − | 1 2 0 2 1 3 1 2 1 | | 1 2 1 2 1 1 1 2 − 2 | ) {\displaystyle \mathrm {com} (A)=\left({\begin{array}{cccc}\left|{\begin{array}{ccc}1&1&3\\2&-2&1\\0&2&1\end{array}}\right|&-\left|{\begin{array}{ccc}2&1&3\\1&-2&1\\3&2&1\end{array}}\right|&\left|{\begin{array}{ccc}2&1&3\\1&2&1\\3&0&1\end{array}}\right|&-\left|{\begin{array}{ccc}2&1&1\\1&2&-2\\3&0&2\end{array}}\right|\\-\left|{\begin{array}{ccc}2&1&0\\2&-2&1\\0&2&1\end{array}}\right|&\left|{\begin{array}{ccc}1&1&0\\1&-2&1\\3&2&1\end{array}}\right|&-\left|{\begin{array}{ccc}1&2&0\\1&2&1\\3&0&1\end{array}}\right|&\left|{\begin{array}{ccc}1&2&1\\1&2&-2\\3&0&2\end{array}}\right|\\\left|{\begin{array}{ccc}2&1&0\\1&1&3\\0&2&1\end{array}}\right|&-\left|{\begin{array}{ccc}1&1&0\\2&1&3\\3&2&1\end{array}}\right|&\left|{\begin{array}{ccc}1&2&0\\2&1&3\\3&0&1\end{array}}\right|&-\left|{\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&1&1\\3&0&2\end{array}}\right|\\-\left|{\begin{array}{ccc}2&1&0\\1&1&3\\2&-2&1\end{array}}\right|&\left|{\begin{array}{ccc}1&1&0\\2&1&3\\1&-2&1\end{array}}\right|&-\left|{\begin{array}{ccc}1&2&0\\2&1&3\\1&2&1\end{array}}\right|&\left|{\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&1&1\\1&2&-2\end{array}}\right|\\\end{array}}\right)}
= ( 6 − 18 − 12 6 10 − 2 − 6 − 18 − 11 − 2 15 3 − 19 8 3 9 ) {\displaystyle =\left({\begin{array}{cccc}6&-18&-12&6\\10&-2&-6&-18\\-11&-2&15&3\\-19&8&3&9\end{array}}\right)} donc
A − 1 = 1 det ( A ) ( c o m ( A ) ) ) t = 1 − 42 ( 6 10 − 11 − 19 − 18 − 2 − 2 8 − 12 − 6 15 3 6 − 18 3 9 ) = ( − 1 / 7 − 5 / 21 11 / 42 19 / 42 3 / 7 1 / 21 1 / 21 − 4 / 21 2 / 7 1 / 7 − 5 / 14 − 1 / 14 − 1 / 7 3 / 7 − 1 / 14 − 3 / 14 ) {\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\Big (}\mathrm {com} (A)){\Big )}^{t}={\frac {1}{-42}}\left({\begin{array}{cccc}6&10&-11&-19\\-18&-2&-2&8\\-12&-6&15&3\\6&-18&3&9\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cccc}-1/7&-5/21&11/42&19/42\\3/7&1/21&1/21&-4/21\\2/7&1/7&-5/14&-1/14\\-1/7&3/7&-1/14&-3/14\end{array}}\right)} et pour s'assurer qu'on n'a pas fait d'erreur de calcul, on peut vérifier que A × A − 1 = I 4 {\displaystyle A\times A^{-1}=\mathrm {I} _{4}} ou que A − 1 × A = I 4 {\displaystyle A^{-1}\times A=\mathrm {I} _{4}} (l'une des deux vérifications suffit car une matrice carrée est inversible à droite si et seulement si elle est inversible à gauche et quand elle l'est, l'inverse est unique).
Par la méthode du pivot de Gauss
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Calculer, par la méthode du pivot de Gauss, l'inverse de
( 1 2 1 2 0 1 3 1 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&1\\2&0&1\\3&1&2\end{pmatrix}}} .
Solution
( 1 3 − 2 1 1 − 1 − 2 − 5 4 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3&-2\\1&1&-1\\-2&-5&4\end{pmatrix}}} .