Matrice/Exercices/Produit matriciel

Produit matriciel
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Exercices no1
Leçon : Matrice
Chapitre du cours : Produit matriciel

Exercices de niveau 14.

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Exo suiv. :Déterminant
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Produit matriciel : possible ou pas ? modifier

On considère les quatre matrices :

 

 

 

 .

1. Quels sont les produits matriciels réalisables ?

2. Effectuez-les.

Matrice strictement triangulaire modifier

Soit   une matrice strictement triangulaire supérieure, c'est-à-dire qui n'a que des zéros en dessous de la diagonale et sur la diagonale elle-même. Démontrer que  .

Soit   avec  .

  1. Calculer   et  .
  2. En déduire la matrice inverse de  .

Non-commutativité modifier

On considère les deux matrices suivantes :

 .

Calculer   et  . Que remarque-t-on ?

Soient   et  . Calculez et comparez   et  .

Diviseurs de zéro modifier

Soient   et   deux matrices carrées de même taille. Montrer que si  , les matrices   et   ne sont pas inversibles.

Calculs d'inverses modifier

Par la méthode polynomiale modifier

Soit  . Calculer   et vérifier que  . En déduire que   est inversible et calculer son inverse.

Soit  . Calculer   et vérifier que  . En déduire que   est inversible et calculer son inverse.

Soient   et   une matrice nilpotente, c'est-à-dire qu'il existe un entier   tel que  . Démontrer que la matrice   est inversible et déterminer son inverse.

Par résolution de système modifier

En utilisant un système linéaire, inverser la matrice  .

Par la formule de Laplace modifier

Pour quelles valeurs de   la matrice   est-elle inversible ? Calculer dans ce cas son inverse.

Calculer l'inverse de la matrice suivante en passant par le calcul de sa comatrice.

 .

Par la méthode du pivot de Gauss modifier

 
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Calculer, par la méthode du pivot de Gauss, l'inverse de

 .

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